Utilize o limite fundamental, lim x 0 sen(x)x=1, para calcular os limites abaixo: lim x 0 tg(a x)x, a in R^*.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 tg(a x)x onde a é um número real diferente de zero. A gente vai usar o limite fundamental que diz que lim x 0 sin(x)x=1. Vamos precisar de conhecimento sobre funções trigonométricas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a tangente de um ângulo pode ser escrita em termos de seno e cosseno. Ou seja:
tg(a x) = sin(a x)cos(a x)
Então, substituindo na nossa expressão original, temos:
lim x 0 tg(a x)x = lim x 0 sin(a x)x cos(a x)

Passo 3

Agora, vamos manipular a fração para separar os termos que conhecemos do limite fundamental. Podemos reescrever a expressão assim:
lim x 0 ( sin(a x)a x cdot a ) cdot 1cos(a x)
Aqui, dividimos e multiplicamos por a dentro da fração para facilitar a aplicação do limite conhecido.

Passo 4

Vamos analisar cada parte do limite separadamente:
  1. Primeira parte: lim x 0 sin(a x)a x = 1 (usando o limite fundamental, pois quando substituímos a x por uma nova variável próxima de zero, o limite permanece 1).
  2. Segunda parte: lim x 0 a = a (pois a é constante).
  3. Terceira parte: lim x 0 1cos(a x) = 1cos(0) = 11 = 1 (já que cos(0) = 1).

Passo 5

Multiplicando todos os limites separados:
1 cdot a cdot 1 = a

Resposta

O limite é igual a a.
lim x 0 tg(a x)x = a

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