Utilize o limite fundamental,
, para calcular os limites abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
onde
é um número real diferente de zero. A gente vai usar o limite fundamental que diz que
. Vamos precisar de conhecimento sobre funções trigonométricas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a tangente de um ângulo pode ser escrita em termos de seno e cosseno. Ou seja:
Então, substituindo na nossa expressão original, temos:
Passo 3
Agora, vamos manipular a fração para separar os termos que conhecemos do limite fundamental. Podemos reescrever a expressão assim:
Aqui, dividimos e multiplicamos por
dentro da fração para facilitar a aplicação do limite conhecido.
Passo 4
Vamos analisar cada parte do limite separadamente:
- Primeira parte:
(usando o limite fundamental, pois quando substituímos por uma nova variável próxima de zero, o limite permanece 1). - Segunda parte:
(pois é constante). - Terceira parte:
(já que ).
Passo 5
Multiplicando todos os limites separados:
Resposta
O limite é igual a
.