Nos itens abaixo, verifique se para o valor de a indicado, existe o limite da função dada. f(x) = { x^2 + 3, se x > 1; 5, se x = 1; x + 3, se x < 1 }, a = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se, no ponto , existe o limite da função dada. A função é definida de forma diferente para , e . Vamos precisar entender o que é limite e como calcular os limites laterais para determinar se o limite geral existe nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é limite. O limite de uma função quando se aproxima de um valor é o valor que tende a assumir à medida que chega perto de , vindo da esquerda ou da direita. Para que o limite exista, os limites laterais (da esquerda e da direita) devem ser iguais.

Passo 3

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, . Nesse caso, usamos a parte da função definida para :
Como está se aproximando de 1, podemos substituir diretamente:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, . Aqui, usamos a parte da função definida para :
Novamente, substituindo :
Então, .

Passo 5

Como os limites laterais são iguais:
Isso significa que o limite da função quando se aproxima de 1 existe e é igual a 4, independentemente do valor que realmente tem.

Resposta

O limite da função quando se aproxima de 1 existe e é igual a 4.

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