Considere a função g definida por g(x)=r1, se x <= 0 -1 , se x>0. Investigue a existência dos limites: lim x 0 g(x) e lim x 0 x^2 g(x)

Passo 1

Então, a gente tem uma função chamada g(x) = 1, & se x <= 0 -1, & se x > 0 que muda de valor dependendo se é menor ou igual a zero, ou maior que zero. A função é definida assim:
A gente precisa descobrir se os limites e existem. Para isso, vamos usar o conceito de limites laterais, que nos ajuda a ver o que acontece com a função quando se aproxima de um ponto pela esquerda e pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar limx 0^- g(x) = 1 . Para isso, vamos ver os limites quando limx 0^+ g(x) = -1 se aproxima de 0 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
  • Limite pela esquerda ( ):
    Quando está se aproximando de 0 pela esquerda, ou seja, valores negativos próximos a 0, a definição da função diz que . Então,
  • Limite pela direita ( ):
    Quando está se aproximando de 0 pela direita, ou seja, valores positivos próximos a 0, a definição da função diz que . Então,

Passo 3

Agora, para que o limite limx 0^- g(x) = 1 e limx 0^+ g(x) = -1 exista, os limites pela esquerda e pela direita precisam ser iguais. No nosso caso,
Como 1 não é igual a -1, isso significa que o limite não existe.

Passo 4

Vamos agora analisar limx 0^- x^2 g(x) = limx 0^- x^2 cdot 1 = limx 0^- x^2 = 0 . Novamente, vamos olhar os limites laterais.
  • Limite pela esquerda ( limx 0^+ x^2 g(x) = limx 0^+ x^2 cdot (-1) = limx 0^+ (-x^2) = 0 ):
    Sabemos que quando . Então,
  • Limite pela direita ( ):
    Sabemos que quando . Então,

Resposta

O limite não existe, e o limite .

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