Considere a função g definida por g(x)=r1 , se x <= 0 -1 , se x>0. Investigue a existência dos limites: lim x 0 g(x) e lim x 0 x^2 g(x).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma função g(x) que é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de x. Nosso objetivo aqui é investigar se os limites lim x 0 g(x) e lim x 0 x^2 g(x) existem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é limite de uma função e como calcular limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o limite de uma função quando x se aproxima de um valor específico, no caso, 0. O limite lim x 0 g(x) existe se os limites à direita e à esquerda de 0 forem iguais.

Passo 3

Vamos calcular o limite à esquerda de 0, ou seja, quando x se aproxima de 0 pelo lado negativo ( x 0^-). De acordo com a definição da função g(x), quando x <= 0, g(x) = 1. Então,
lim x 0^- g(x) = 1

Passo 4

Agora, calculamos o limite à direita de 0, quando x se aproxima de 0 pelo lado positivo ( x 0^+). Segundo a definição, quando x > 0, g(x) = -1. Então,
lim x 0^+ g(x) = -1

Passo 5

Como os limites à esquerda e à direita não são iguais ( 1 neq -1), podemos concluir que o limite lim x 0 g(x) não existe.

Passo 6

Agora, vamos investigar o limite lim x 0 x^2 g(x). Aqui, precisamos multiplicar x^2 pela função g(x) e ver o que acontece quando x se aproxima de 0.

Passo 7

Vamos novamente considerar os limites à esquerda e à direita.
Para x 0^-:
x^2 g(x) = x^2 cdot 1 = x^2
Então,
lim x 0^- x^2 g(x) = lim x 0^- x^2 = 0

Passo 8

Para x 0^+:
x^2 g(x) = x^2 cdot (-1) = -x^2
Então,
lim x 0^+ x^2 g(x) = lim x 0^+ (-x^2) = 0

Passo 9

Como os limites à esquerda e à direita são iguais ( 0 = 0), o limite lim x 0 x^2 g(x) existe e é igual a 0.

Resposta

O limite lim x 0 g(x) não existe, enquanto o limite lim x 0 x^2 g(x) existe e é igual a 0.

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