Considere a função
definida por
. Investigue a existência dos limites:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma função
que é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de
. Nosso objetivo aqui é investigar se os limites
e
existem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é limite de uma função e como calcular limites laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o limite de uma função quando
se aproxima de um valor específico, no caso,
. O limite
existe se os limites à direita e à esquerda de
forem iguais.
Passo 3
Vamos calcular o limite à esquerda de
, ou seja, quando
se aproxima de
pelo lado negativo (
). De acordo com a definição da função
, quando
,
. Então,
Passo 4
Agora, calculamos o limite à direita de
, quando
se aproxima de
pelo lado positivo (
). Segundo a definição, quando
,
. Então,
Passo 5
Como os limites à esquerda e à direita não são iguais (
), podemos concluir que o limite
não existe.
Passo 6
Agora, vamos investigar o limite
. Aqui, precisamos multiplicar
pela função
e ver o que acontece quando
se aproxima de
.
Passo 7
Vamos novamente considerar os limites à esquerda e à direita.
Para
:
Então,
Passo 8
Para
:
Então,
Passo 9
Como os limites à esquerda e à direita são iguais (
), o limite
existe e é igual a
.
Resposta
O limite
não existe, enquanto o limite
existe e é igual a
.
Exercícios relacionados
Verifique a aproximação linear em
.
Usando uma mudança de variáveis apropriada, calcule a integral,
onde
é o paralelogramo limitado pelas retas
e
.
Calcule e verifique sua resposta por derivação.
a)
a)
Calcule e verifique sua resposta por derivação.