Considere a função definida por . Investigue a existência dos limites: e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma função que é definida de duas formas diferentes dependendo do valor de . Nosso objetivo aqui é investigar se os limites e existem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é limite de uma função e como calcular limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o limite de uma função quando se aproxima de um valor específico, no caso, . O limite existe se os limites à direita e à esquerda de forem iguais.

Passo 3

Vamos calcular o limite à esquerda de , ou seja, quando se aproxima de pelo lado negativo ( ). De acordo com a definição da função , quando , . Então,

Passo 4

Agora, calculamos o limite à direita de , quando se aproxima de pelo lado positivo ( ). Segundo a definição, quando , . Então,

Passo 5

Como os limites à esquerda e à direita não são iguais ( ), podemos concluir que o limite não existe.

Passo 6

Agora, vamos investigar o limite . Aqui, precisamos multiplicar pela função e ver o que acontece quando se aproxima de .

Passo 7

Vamos novamente considerar os limites à esquerda e à direita.
Para :
Então,

Passo 8

Para :
Então,

Passo 9

Como os limites à esquerda e à direita são iguais ( ), o limite existe e é igual a .

Resposta

O limite não existe, enquanto o limite existe e é igual a .

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a)
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