Verifique a aproximação linear em .

Passo 1

Vamos verificar as aproximações lineares das funções dadas em . Para isso, vamos utilizar o conceito de aproximação linear, que nos permite aproximar uma função por uma reta no entorno de um ponto específico. Precisaremos calcular os valores das funções e suas derivadas parciais nesse ponto.

Passo 2

Função 17:
Primeiro, calculamos o valor da função em :

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de :
Derivada parcial em relação a :
Avaliada em :

Passo 4

Derivada parcial em relação a :
Avaliada em :

Passo 5

A aproximação linear de em é dada por:

Passo 6

Função 18:
Primeiro, calculamos o valor da função em :

Passo 7

Calculamos as derivadas parciais de :
Derivada parcial em relação a :
Avaliada em :

Passo 8

Derivada parcial em relação a :
Avaliada em :

Passo 9

A aproximação linear de em é dada por:

Resposta

As aproximações lineares estão corretas:

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Usando uma mudança de variáveis apropriada, calcule a integral, onde é o paralelogramo limitado pelas retas e .
Esboce o gráfico da função , sabendo que e .
Considere a função definida por . Investigue a existência dos limites: e .
Calcule e verifique sua resposta por derivação.
a)