Usando uma mudança de variáveis apropriada, calcule a integral, onde é o paralelogramo limitado pelas retas e .

Passo 1

Então, galera, a gente tem que calcular uma integral dupla sobre uma região R que é um paralelogramo definido por quatro retas: , , e . Vamos precisar usar mudança de variáveis para simplificar essa integral. Isso envolve identificar novas variáveis que transformam a região R em um retângulo mais fácil de trabalhar e calcular o Jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as novas variáveis. Vamos deixar:
Essas escolhas são bem legais porque as equações das retas que limitam o paralelogramo ficam bem simplificadas em termos de e .

Passo 3

Agora, precisamos achar o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas. Vamos montar essa matriz:

[
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} =


]
Calculando o determinante:
Então, o Jacobiano é 5.

Passo 4

Com o Jacobiano, podemos expressar em termos de :
Isso simplifica a nossa integral original.

Passo 5

Vamos reescrever a integral original usando as novas variáveis e :
Agora, precisamos definir os novos limites de integração para e .

Passo 6

Observando as retas que definem o paralelogramo, vemos que:
Então, os limites de integração são e .

Passo 7

Agora, nossa integral fica assim:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a .

Passo 8

A integral interna é:
Porque .

Passo 9

Substituindo de volta na integral externa:
Agora, vamos calcular essa última integral.

Passo 10

A integral é:
Então, substituindo de volta:

Resposta

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