Usando uma mudança de variáveis apropriada, calcule a integral, onde é o paralelogramo limitado pelas retas e .
Passo 1
Então, galera, a gente tem que calcular uma integral dupla sobre uma região R que é um paralelogramo definido por quatro retas: , , e . Vamos precisar usar mudança de variáveis para simplificar essa integral. Isso envolve identificar novas variáveis que transformam a região R em um retângulo mais fácil de trabalhar e calcular o Jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as novas variáveis. Vamos deixar:
Essas escolhas são bem legais porque as equações das retas que limitam o paralelogramo ficam bem simplificadas em termos de e .
Passo 3
Agora, precisamos achar o Jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas. Vamos montar essa matriz:
[
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} =
Jacobian = (1)(-1) - (-2)(3) = -1 + 6 = 5
]
Calculando o determinante:
Então, o Jacobiano é 5.
Passo 4
Com o Jacobiano, podemos expressar dx,dy = 1|Jacobian| du,dv = 15 du,dv em termos de :
Isso simplifica a nossa integral original.
Passo 5
Vamos reescrever a integral original usando as novas variáveis integral dupla^R x - 2y3x - y , dA = integral dupla uv cdot 15 , du,dv e :
Agora, precisamos definir os novos limites de integração para e .
Passo 6
Observando as retas que definem o paralelogramo, vemos que:
u = x - 2y vai de 0 a 3
v = 3x - y vai de 1 a 5
Então, os limites de integração são e .
Passo 7
Agora, nossa integral fica assim:
15 integralu=0^3 integralv=1^5 uv , dv,du
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a .
Passo 8
A integral interna é:
integralv=1^5 uv , dv = u integral1^5 1v , dv = u [ ln v ]1^5 = u (ln 5 - ln 1) = u ln 5
Porque .
Passo 9
Substituindo de volta na integral externa:
15 integral0^3 u ln 5 , du = ln 55 integral0^3 u , du
Agora, vamos calcular essa última integral.
Passo 10
A integral integral0^3 u , du = [ u^22 ]0^3 = 92 - 0 = 92 é: