Considere a função
definida por
.
b) Encontre os pontos críticos e os intervalos de crescimento e/ou decrescimento.
b) Encontre os pontos críticos e os intervalos de crescimento e/ou decrescimento.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
. Precisamos encontrar os pontos críticos dessa função e identificar os intervalos de crescimento e decrescimento.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada da função. A derivada nos ajuda a encontrar onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de inflexão, que são justamente os pontos críticos. Além disso, a derivada nos indica onde a função está crescendo ou decrescendo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a
.
A função é:
Vamos derivar cada termo separadamente:
- A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é
Então, a derivada de
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver a equação
. Esses pontos são onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde a função pode ter um máximo ou mínimo local.
Resolvendo:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
.
Calculando o discriminante:
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, analisamos o sinal da derivada
em cada intervalo determinado pelos pontos críticos.
Temos dois pontos críticos que dividem a reta real em três intervalos:
Vamos escolher um valor de
em cada intervalo e verificar o sinal de
:
- Intervalo 1: Escolhamos
Então,
está crescente nesse intervalo.
- Intervalo 2: Escolhamos
Então,
está decrescente nesse intervalo.
- Intervalo 3: Escolhamos
Então,
está crescente nesse intervalo.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
e
.
A função está crescente nos intervalos
e
, e decrescente no intervalo
.
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Sabendo que
, e ed são números reais positivos, prove cada uma das desigualdades a seguir:
a) ;
b) ;
c) .
a)
b)
c)
Sejam
. Suponha que
. Então, mostre
que
que
Duas pequenas fábricas de calçados,
e B, têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, a produção da fábrica B superará a produção de A a partir de que período?
Determine os valores de x para que exista um triângulo com os lados medindo
e
.