Considere a função definida por .
b) Encontre os pontos críticos e os intervalos de crescimento e/ou decrescimento.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função . Precisamos encontrar os pontos críticos dessa função e identificar os intervalos de crescimento e decrescimento.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada da função. A derivada nos ajuda a encontrar onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de inflexão, que são justamente os pontos críticos. Além disso, a derivada nos indica onde a função está crescendo ou decrescendo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a .
A função é:
Vamos derivar cada termo separadamente:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de é
Então, a derivada de é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver a equação . Esses pontos são onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde a função pode ter um máximo ou mínimo local.
Resolvendo:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
onde , e .
Calculando o discriminante:
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos críticos são:

Passo 4

Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, analisamos o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos.
Temos dois pontos críticos que dividem a reta real em três intervalos:
Vamos escolher um valor de em cada intervalo e verificar o sinal de :
  1. Intervalo 1: Escolhamos
Então, está crescente nesse intervalo.
  1. Intervalo 2: Escolhamos
Então, está decrescente nesse intervalo.
  1. Intervalo 3: Escolhamos
Então, está crescente nesse intervalo.

Resposta

Os pontos críticos da função são e .
A função está crescente nos intervalos e , e decrescente no intervalo .

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a) ;
b) ;
c) .
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que
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