Considere a função . Explique por que não está definida em e como isso está relacionado ao limite.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. A gente tem a função . A pergunta é para a gente explicar por que essa função não está definida em e como isso se relaciona com o conceito de limite. Pra resolver isso, vamos precisar entender sobre funções, indefinições (como divisão por zero) e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função . Aqui, temos um polinômio no numerador ( ) e outro no denominador ( ). A função está definida para todos os valores de onde o denominador não é zero, porque dividir por zero não é permitido na matemática.

Passo 3

Agora, vamos verificar o denominador: . Se substituirmos , temos:
Então, o denominador fica zero quando . Como não podemos dividir por zero, a função não está definida nesse ponto.

Passo 4

Mas e o numerador? Vamos ver o que acontece quando :
Então, tanto o numerador quanto o denominador são zero quando . Isso é conhecido como uma indeterminação do tipo , que nos indica que podemos simplificar a função para entender melhor o comportamento perto desse ponto.

Passo 5

Vamos fatorar o numerador:
Agora, a função fica:
Podemos cancelar o fator do numerador e do denominador, desde que :

Passo 6

Mesmo depois da simplificação, a função original não está definida em porque fizemos uma divisão por que é zero nesse ponto. No entanto, a função simplificada está definida em . Isso nos leva a usar o conceito de limite para entender o comportamento da função perto de .

Passo 7

O limite de quando se aproxima de 1 é igual ao valor da função simplificada nesse ponto. Então:
Isso significa que, mesmo que a função não esteja definida exatamente em , ela se aproxima do valor 2 quando está perto de 1.

Resposta

A função não está definida em porque o denominador se anula, resultando em uma divisão por zero. Entretanto, ao analisar o limite quando se aproxima de 1, descobrimos que .

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