Considere a função
. Explique por que
não está definida em
e como isso está relacionado ao limite.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício. A gente tem a função
. A pergunta é para a gente explicar por que essa função não está definida em
e como isso se relaciona com o conceito de limite. Pra resolver isso, vamos precisar entender sobre funções, indefinições (como divisão por zero) e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função
. Aqui, temos um polinômio no numerador (
) e outro no denominador (
). A função está definida para todos os valores de
onde o denominador não é zero, porque dividir por zero não é permitido na matemática.
Passo 3
Agora, vamos verificar o denominador:
. Se substituirmos
, temos:
Então, o denominador fica zero quando
. Como não podemos dividir por zero, a função
não está definida nesse ponto.
Passo 4
Mas e o numerador? Vamos ver o que acontece quando
:
Então, tanto o numerador quanto o denominador são zero quando
. Isso é conhecido como uma indeterminação do tipo
, que nos indica que podemos simplificar a função para entender melhor o comportamento perto desse ponto.
Passo 5
Vamos fatorar o numerador:
Agora, a função fica:
Podemos cancelar o fator
do numerador e do denominador, desde que
:
Passo 6
Mesmo depois da simplificação, a função original
não está definida em
porque fizemos uma divisão por
que é zero nesse ponto. No entanto, a função simplificada
está definida em
. Isso nos leva a usar o conceito de limite para entender o comportamento da função perto de
.
Passo 7
O limite de
quando
se aproxima de 1 é igual ao valor da função simplificada
nesse ponto. Então:
Isso significa que, mesmo que a função não esteja definida exatamente em
, ela se aproxima do valor 2 quando
está perto de 1.
Resposta
A função
não está definida em
porque o denominador se anula, resultando em uma divisão por zero. Entretanto, ao analisar o limite quando
se aproxima de 1, descobrimos que
.
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Calcule
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