lim x 1 x^4-5 x^2+6x^3-x^2-2 x+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de uma função quando se aproxima de 1. A função é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver o que acontece. Substituindo:
No numerador:
No denominador:
Então, temos , o que significa que o limite pode ser infinito ou não existir. Mas para termos certeza, vamos tentar simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos simplificar. Começando pelo numerador:
Podemos substituir , então fica:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador:
r|rrr 1 & 1 & -1 & -2 & 2 & & 1 & 0 & -2 hline & 1 & 0 & -2 & 0
Vamos procurar uma raiz racional. Testando :
Então, é um fator. Usando divisão sintética:
Então, o denominador fatorado é .

Passo 5

Agora, nossa expressão fica:
(x^2 - 2)(x^2 - 3)(x - 1)(x^2 - 2)
Podemos cancelar o x^2 - 3x - 1 que está no numerador e denominator:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite dessa nova expressão quando limx to 1 x^2 - 3x - 1 se aproxima de 1:
1^2 - 31 - 1 = -20
Substituindo :
Isso indica que o limite tende para menos infinito, já que o numerador é negativo e o denominador está se aproximando de zero positivo.

Resposta

O limite é .

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