Use a derivação implicita para determinar
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar derivação implícita para encontrar a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
, na equação:
Então, vamos precisar entender como fazer derivação implícita e como aplicar isso para achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a derivação implícita da equação original em relação a
. Isso significa que vamos derivar cada termo da equação considerando que
é uma função de
. Então, aplicamos a derivada em ambos os lados:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo separadamente:
-
Para
: -
Para
:
Aqui, usamos a regra da cadeia porqueé função de : (onde) -
Para
:
Como é uma constante, a derivada é zero:
Então, nossa equação derivada fica:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para
:
Primeiro, isolamos o termo com
:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
derivando
novamente em relação a
. Vamos derivar:
Usamos a regra do quociente:
Calculando:
Simplificando:
Substituímos
que encontramos antes:
Simplificando os termos:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Simplificando mais:
Lembrando da equação original
, substituímos:
Simplificando:
Resposta
A segunda derivada é: