Use a derivação implicita para determinar y''
b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar derivação implícita para encontrar a segunda derivada de em relação a , ou seja, , na equação:
Então, vamos precisar entender como fazer derivação implícita e como aplicar isso para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a derivação implícita da equação original em relação a . Isso significa que vamos derivar cada termo da equação considerando que é uma função de . Então, aplicamos a derivada em ambos os lados:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Para :
  2. Para :
    Aqui, usamos a regra da cadeia porque é função de :
    (onde )
  3. Para :
    Como é uma constante, a derivada é zero:
Então, nossa equação derivada fica:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para :
Primeiro, isolamos o termo com :
Agora, dividimos ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada derivando novamente em relação a . Vamos derivar:
Usamos a regra do quociente:
Calculando:
Simplificando:
Substituímos que encontramos antes:
Simplificando os termos:
Multiplicando numerador e denominador por :
Simplificando mais:
Lembrando da equação original , substituímos:
Simplificando:

Resposta

A segunda derivada é:

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