Considere a função
b.
é derivável em
? Justifique.
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está nos perguntando se a função
é derivável no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e continuidade de funções. Basicamente, para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas à esquerda e à direita desse ponto precisam ser iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua em
. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de 1 pelo lado esquerdo deve ser igual ao limite quando
se aproxima pelo lado direito, e ambos devem ser iguais ao valor de
.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda de 1, ou seja, quando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita de 1, ou seja, quando
:
Passo 5
Como os dois limites são iguais e ambos são iguais a
, que é 3, a função
é contínua em
.
Passo 6
Agora que sabemos que
é contínua em 1, vamos verificar se a derivada à esquerda e à direita em 1 são iguais.
Primeiro, a derivada quando
:
Então, a derivada à esquerda de 1 é:
Passo 7
Agora, a derivada quando
:
Então, a derivada à direita de 1 é:
Resposta
Como as derivadas à esquerda e à direita de
são iguais e a função é contínua nesse ponto, a função
é derivável em
.