Considere a função g(x) = { x² + 2 se x < 1, 2x + 1 se x ≥ 1 }
b. g é derivável em p = 1 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está nos perguntando se a função é derivável no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e continuidade de funções. Basicamente, para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas à esquerda e à direita desse ponto precisam ser iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Isso significa que o limite de quando se aproxima de 1 pelo lado esquerdo deve ser igual ao limite quando se aproxima pelo lado direito, e ambos devem ser iguais ao valor de .

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda de 1, ou seja, quando :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita de 1, ou seja, quando :

Passo 5

Como os dois limites são iguais e ambos são iguais a , que é 3, a função é contínua em .

Passo 6

Agora que sabemos que é contínua em 1, vamos verificar se a derivada à esquerda e à direita em 1 são iguais.
Primeiro, a derivada quando :
Então, a derivada à esquerda de 1 é:

Passo 7

Agora, a derivada quando :
Então, a derivada à direita de 1 é:

Resposta

Como as derivadas à esquerda e à direita de são iguais e a função é contínua nesse ponto, a função é derivável em .

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