Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a integral de em relação a . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções racionais que envolvem polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de separação de termos para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a fração. Observe que no denominador temos . Podemos reescrever a fração dividindo o numerador pelo denominador:
Isso simplifica para:
Agora, a integral fica mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original usando essa separação:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Primeira integral:
Essa é uma integral padrão que envolve a função arco-tangente. A fórmula geral é:
Aqui, , então . Aplicando a fórmula:

Passo 5

Segunda integral:
Essa integral é um pouco mais complicada, mas podemos usar uma fórmula conhecida:
Com :

Passo 6

Agora, voltando à nossa expressão original:
Vamos simplificar isso.

Passo 7

Distribuindo o -4:
Simplificando as frações:

Passo 8

Agora, combinando os termos com arco-tangente:
Então, a expressão fica:

Resposta

A integral de é:
Onde é a constante de integração.

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Considere a função
b. é derivável em ? Justifique.