Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a integral de
em relação a
. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções racionais que envolvem polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de separação de termos para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a fração. Observe que no denominador temos
. Podemos reescrever a fração dividindo o numerador pelo denominador:
Isso simplifica para:
Agora, a integral fica mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral original usando essa separação:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 4
Primeira integral:
Essa é uma integral padrão que envolve a função arco-tangente. A fórmula geral é:
Aqui,
, então
. Aplicando a fórmula:
Passo 5
Segunda integral:
Essa integral é um pouco mais complicada, mas podemos usar uma fórmula conhecida:
Com
:
Passo 6
Agora, voltando à nossa expressão original:
Vamos simplificar isso.
Passo 7
Distribuindo o -4:
Simplificando as frações:
Passo 8
Agora, combinando os termos com arco-tangente:
Então, a expressão fica:
Resposta
A integral de
é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Considere a função
b. é derivável em
? Justifique.
b.