integral x^2(x^2+4)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a integral de x^2(x^2+4)^2 em relação a x. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções racionais que envolvem polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de separação de termos para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a fração. Observe que no denominador temos (x^2 + 4)^2. Podemos reescrever a fração dividindo o numerador pelo denominador:
x^2(x^2+4)^2 = x^2 + 4 - 4(x^2+4)^2 = x^2 + 4(x^2+4)^2 - 4(x^2+4)^2
Isso simplifica para:
1x^2+4 - 4(x^2+4)^2
Agora, a integral fica mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original usando essa separação:
integral x^2(x^2+4)^2 dx = integral ( 1x^2+4 - 4(x^2+4)^2 ) dx = integral 1x^2+4 dx - 4 integral 1(x^2+4)^2 dx
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Primeira integral: integral 1x^2+4 dx
Essa é uma integral padrão que envolve a função arco-tangente. A fórmula geral é:
integral 1x^2+a^2 dx = 1a arctan ( xa ) + C
Aqui, a^2 = 4, então a = 2. Aplicando a fórmula:
integral 1x^2+4 dx = 12 arctan ( x2 ) + C

Passo 5

Segunda integral: integral 1(x^2+4)^2 dx
Essa integral é um pouco mais complicada, mas podemos usar uma fórmula conhecida:
integral 1(x^2+a^2)^2 dx = x2 a^2 (x^2+a^2) + 12 a^3 arctan ( xa ) + C
Com a = 2:
integral 1(x^2+4)^2 dx = x2 cdot 4 cdot (x^2+4) + 12 cdot 8 arctan ( x2 ) + C = x8(x^2+4) + 116 arctan ( x2 ) + C

Passo 6

Agora, voltando à nossa expressão original:
integral x^2(x^2+4)^2 dx = [ 12 arctan ( x2 ) ] - 4 [ x8(x^2+4) + 116 arctan ( x2 ) ] + C
Vamos simplificar isso.

Passo 7

Distribuindo o -4:
= 12 arctan ( x2 ) - 4x8(x^2+4) - 416 arctan ( x2 ) + C
Simplificando as frações:
= 12 arctan ( x2 ) - x2(x^2+4) - 14 arctan ( x2 ) + C

Passo 8

Agora, combinando os termos com arco-tangente:
12 arctan ( x2 ) - 14 arctan ( x2 ) = 14 arctan ( x2 )
Então, a expressão fica:
= 14 arctan ( x2 ) - x2(x^2+4) + C

Resposta

A integral de x^2(x^2+4)^2 dx é:
14 arctan ( x2 ) - x2(x^2+4) + C
Onde C é a constante de integração.

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