Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O enunciado é:
Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

O primeiro passo para aplicar as frações parciais é fatorar o denominador. Vamos fatorar :
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados da equação por :
Expandindo e agrupando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. Substituindo em : => .
  3. De , temos .

Passo 5

Com os valores de , e encontrados, reescrevemos a fração original:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
Agrupando as constantes de integração em uma só, temos:

Resposta

A integral é igual a

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Considere a função
b. é derivável em ? Justifique.
Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas:
( ) A derivada da função é .