integral d xx^3+3 x^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O enunciado é:
integral dxx^3 + 3x^2
Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

O primeiro passo para aplicar as frações parciais é fatorar o denominador. Vamos fatorar x^3 + 3x^2 = x^2(x + 3) :
integral dxx^2(x + 3)
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
1x^2(x + 3) = Ax + Bx^2 + Cx + 3
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de 1 = A cdot x(x + 3) + B(x + 3) + Cx^2 , 1 = (A + C)x^2 + (3A + B)x + 3B e A + C = 0 3A + B = 0 3B = 1 , multiplicamos ambos os lados da equação por :
Expandindo e agrupando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. Substituindo em : => .
  3. De , temos .

Passo 5

Com os valores de 1x^2(x + 3) = -19x + 13x^2 + 19x + 3 , 1x^2(x + 3) = -19x + 13x^2 + 19(x + 3) e encontrados, reescrevemos a fração original:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral (-19x + 13x^2 + 19(x + 3)) dx
Integrando termo a termo:
  1. -19 ln|x| - 13x + 19 ln|x + 3| + C
Agrupando as constantes de integração em uma só, temos:

Resposta

A integral é igual a
-19 ln|x| - 13x + 19 ln|x + 3| + C

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