Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O enunciado é:
Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que nos ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.
Passo 2
O primeiro passo para aplicar as frações parciais é fatorar o denominador. Vamos fatorar :
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados da equação por :
Expandindo e agrupando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo o sistema:
De , temos .
Substituindo em : => .
De , temos .
Passo 5
Com os valores de 1x^2(x + 3) = -19x + 13x^2 + 19x + 3 , 1x^2(x + 3) = -19x + 13x^2 + 19(x + 3) e encontrados, reescrevemos a fração original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral (-19x + 13x^2 + 19(x + 3)) dx
Integrando termo a termo:
-19 ln|x| - 13x + 19 ln|x + 3| + C
Agrupando as constantes de integração em uma só, temos: