Considere a função
. Determine:
Concavidade e Pontos de Inflexão;
Concavidade e Pontos de Inflexão;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para analisar a concavidade e os pontos de inflexão da função
. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas segunda para determinar a concavidade e possíveis pontos onde a concavidade muda, que são os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. Lembra que a primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está crescendo ou decrescendo.
A função é
. Usaremos a regra do quociente para derivar:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função. A concavidade nos mostra se a função está “sorrindo” para cima ou para baixo. Se a segunda derivada for positiva, a concavidade é para cima; se for negativa, para baixo.
Derivando
:
Passo 4
Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de
:
- Se
, é positivo, então : concavidade para cima. - Se
, é negativo, e também é negativo, então : concavidade para baixo.
Passo 5
Agora, vamos verificar se existe algum ponto onde a concavidade muda, ou seja, um ponto de inflexão. Isso acontece quando
ou quando a segunda derivada não existe.
No nosso caso,
nunca é zero, mas ela não está definida em
(pois o denominador seria zero). Assim,
é uma assíntota vertical e não um ponto de inflexão.
Resposta
A função
é côncava para cima quando
e côncava para baixo quando
. Não existem pontos de inflexão na função.
Exercícios relacionados
Determine
, se
.
Considere a função
. Determine:
Intervalos de crescimento e decrescimento;
Intervalos de crescimento e decrescimento;
Usando a regra da cadeia, calcule
onde
é igual a:
calcule as derivads parciais.