Considere a função . Determine:
Concavidade e Pontos de Inflexão;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para analisar a concavidade e os pontos de inflexão da função . Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas segunda para determinar a concavidade e possíveis pontos onde a concavidade muda, que são os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . Lembra que a primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está crescendo ou decrescendo.
A função é . Usaremos a regra do quociente para derivar:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função. A concavidade nos mostra se a função está “sorrindo” para cima ou para baixo. Se a segunda derivada for positiva, a concavidade é para cima; se for negativa, para baixo.
Derivando :

Passo 4

Para determinar a concavidade, analisamos o sinal de :
  • Se , é positivo, então : concavidade para cima.
  • Se , é negativo, e também é negativo, então : concavidade para baixo.

Passo 5

Agora, vamos verificar se existe algum ponto onde a concavidade muda, ou seja, um ponto de inflexão. Isso acontece quando ou quando a segunda derivada não existe.
No nosso caso, nunca é zero, mas ela não está definida em (pois o denominador seria zero). Assim, é uma assíntota vertical e não um ponto de inflexão.

Resposta

A função é côncava para cima quando e côncava para baixo quando . Não existem pontos de inflexão na função.

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Determine , se .
Considere a função . Determine:
Intervalos de crescimento e decrescimento;
Usando a regra da cadeia, calcule onde é igual a:
calcule as derivads parciais.