Determine partial fpartial x e partial fpartial y, se f(x, y)=integralx^y sen t d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de uma função f(x, y) = integralx^y sin t , dt em relação a e . A função é dada por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais e integração definida. Para resolver, vamos precisar lembrar de como derivar uma função definida por uma integral com limites que dependem das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função representa. Ela integra a função de até . Ou seja, calcula a área sob a curva de entre esses dois pontos.

Passo 3

Para encontrar as derivadas parciais partialpartial u ( integrala(u)^b(u) g(t) , dt ) = g(b(u)) cdot db(u)du - g(a(u)) cdot da(u)du e , vamos usar a Regra de Leibniz para diferenciação de integrais com limites variáveis. Essa regra nos diz que:
Aqui, pode ser ou , dependendo de qual derivada parcial estamos calculando.

Passo 4

Vamos aplicar a regra para partial fpartial x = sin(y) cdot partial ypartial x - sin(x) cdot partial xpartial x . Nesse caso, partial fpartial x = 0 - sin(x) cdot 1 = -sin(x) , , (que é constante em relação a ):
Como é tratado como constante quando diferenciamos em relação a , , e . Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular partial fpartial y = sin(y) cdot partial ypartial y - sin(x) cdot partial xpartial y . Desta vez, partial fpartial y = sin(y) cdot 1 - 0 = sin(y) , (constante em relação a ), e :
Aqui, e . Então:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = -sin(x) e partial fpartial y = sin(y)

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