Determine , se .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de uma função em relação a e . A função é dada por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais e integração definida. Para resolver, vamos precisar lembrar de como derivar uma função definida por uma integral com limites que dependem das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função representa. Ela integra a função de até . Ou seja, calcula a área sob a curva de entre esses dois pontos.

Passo 3

Para encontrar as derivadas parciais e , vamos usar a Regra de Leibniz para diferenciação de integrais com limites variáveis. Essa regra nos diz que:
Aqui, pode ser ou , dependendo de qual derivada parcial estamos calculando.

Passo 4

Vamos aplicar a regra para . Nesse caso, , , (que é constante em relação a ):
Como é tratado como constante quando diferenciamos em relação a , , e . Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Desta vez, , (constante em relação a ), e :
Aqui, e . Então:

Resposta

As derivadas parciais são:

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