Determine
, se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de uma função
em relação a
e
. A função é dada por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais e integração definida. Para resolver, vamos precisar lembrar de como derivar uma função definida por uma integral com limites que dependem das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função
representa. Ela integra a função
de
até
. Ou seja,
calcula a área sob a curva de
entre esses dois pontos.
Passo 3
Para encontrar as derivadas parciais
e
, vamos usar a Regra de Leibniz para diferenciação de integrais com limites variáveis. Essa regra nos diz que:
Aqui,
pode ser
ou
, dependendo de qual derivada parcial estamos calculando.
Passo 4
Vamos aplicar a regra para
. Nesse caso,
,
,
(que é constante em relação a
):
Como
é tratado como constante quando diferenciamos em relação a
,
, e
. Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Desta vez,
,
(constante em relação a
), e
:
Aqui,
e
. Então:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Considere a função
. Determine:
Intervalos de crescimento e decrescimento;
Intervalos de crescimento e decrescimento;
Considere a função
. Determine:
Máximos e Mínimos locais;
Máximos e Mínimos locais;
Considere a função
. Determine:
Concavidade e Pontos de Inflexão;
Concavidade e Pontos de Inflexão;
Usando a regra da cadeia, calcule
onde
é igual a: