Considere a função g(x,y)=arctg(2x+y). Sabe-se que x(u,v)=u2v e y(u,v)=uv. Determine o valor da expressão (∂g∂u+∂g∂v) para (u,v)=(1,2).

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função $ g(x, y) = \arctan(2x + y) $ e as variáveis $ x $ e $ y $ estão definidas em termos de $ u $ e $ v $ pelas equações $ x(u, v) = u^2v $ e $ y(u, v) = uv $. O objetivo é encontrar o valor da expressão $ \frac{\partial g}{\partial u} + \frac{\partial g}{\partial v} $ quando $ u = 1 $ e $ v = 2 $. Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $ e $ y $. A função $ g(x, y) = \arctan(2x + y) $ pode ser derivada em relação a $ x $ e $ y $ da seguinte forma:
g
x

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ u $ e $ v $:
x
y
u
v

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar $ \frac{\partial g}{\partial u} $ e $ \frac{\partial g}{\partial v} $:
partial gpartial u
partial gpartial v

Passo 5

Substituímos as derivadas que encontramos:
partial gpartial u = 21 + (2x + y)^2 cdot 2uv + 11 + (2x + y)^2 cdot v
partial gpartial v = 21 + (2x + y)^2 cdot u^2 + 11 + (2x + y)^2 cdot u

Passo 6

Agora, calculamos os valores de $ x $ e $ y $ quando $ u = 1 $ e $ v = 2 $:
x
y

Passo 7

Substituímos $ x = 2 $ e $ y = 2 $ nas expressões das derivadas:
Primeiro, calculamos $ 2x + y = 2(2) + 2 = 6 $, então $ 1 + (2x + y)^2 = 1 + 36 = 37 $.
Agora:
x = 2
y = 2

Passo 8

Finalmente, somamos as derivadas parciais em relação a $ u $ e $ v $:
u

Resposta

O valor da expressão $ \frac{\partial g}{\partial u} + \frac{\partial g}{\partial v} $ para $ (u, v) = (1, 2) $ é $ \frac{13}{37} $.

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