Considere a função h(t)=integral0^t^2 e^-t u^2 d u. Calcule h^prime(t).

Passo 1

Beleza! Você tem uma função definida como uma integral, . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas de funções definidas por integrais, especificamente utilizando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar uma integral que tem limites que dependem de e também como lidar com o que está dentro da função integranda.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para derivar uma função que é uma integral com limites que dependem de ddt ( integrala(t)^b(t) f(t, u) du ) = f(t, b(t)) cdot b'(t) - f(t, a(t)) cdot a'(t) + integrala(t)^b(t) partialpartial t f(t, u) du , usamos a fórmula:
No nosso caso, (que tem derivada zero) e (que tem derivada ). A função dentro da integral é .

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula passo a passo. Primeiro, calculemos f(t, t^2) = e^-t (t^2)^2 = e^-t^5 :
b'(t) = ddt t^2 = 2t
f(t, t^2) cdot b'(t) = e^-t^5 cdot 2t = 2t e^-t^5

Passo 4

Agora, vamos calcular a parte da integral que envolve a derivada parcial de partialpartial t e^-t u^2 = -u^2 e^-t u^2 em relação a integral0^t^2 partialpartial t f(t, u) du = integral0^t^2 -u^2 e^-t u^2 du = -integral0^t^2 u^2 e^-t u^2 du :

Passo 5

Como o limite inferior h'(t) = 2t e^-t^5 - integral0^t^2 u^2 e^-t u^2 du tem derivada zero, não precisamos considerar essa parte. Então, juntando tudo:

Resposta

A derivada de h'(t) = 2t e^-t^5 - integral0^t^2 u^2 e^-t u^2 du é:

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