Considere a função
. Calcule
.
Passo 1
Beleza! Você tem uma função definida como uma integral,
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas de funções definidas por integrais, especificamente utilizando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar uma integral que tem limites que dependem de
e também como lidar com o
que está dentro da função integranda.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para derivar uma função que é uma integral com limites que dependem de
, usamos a fórmula:
No nosso caso,
(que tem derivada zero) e
(que tem derivada
). A função dentro da integral é
.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula passo a passo. Primeiro, calculemos
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a parte da integral que envolve a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Como o limite inferior
tem derivada zero, não precisamos considerar essa parte. Então, juntando tudo:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
A temperatura do ponto
de uma chapa é dada por
em
e
em cm ). Se a partir do ponto
nos movermos no sentido positivo do eixo
, a temperatura aumenta ou diminui? De quantos
por cm , aproximadamente?
Dada a função
: Calcule
e
;
Para um gás ideal a temperatura
é uma função do par
onde
é a pressão e
o volume. Sendo
, calcule
no ponto
.
Uma fábrica produz mensalmente
unidades de um produto A e
unidades de um produto B , sendo o lucro mensal da produção conjunta dado por:
Num certo mês foram produzidas 2.000 unidades de A e 1.000 unidades de B. Calcule o lucro da produção conjunta nesse mês;