Mostre que não existe série de Fourier que convirja uniformemente a em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que não existe uma série de Fourier que convirja uniformemente para a função no intervalo . Vamos precisar entender o que é uma série de Fourier, o que significa convergência uniforme e analisar as características da função .
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre séries de Fourier. Elas são usadas para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. É uma ferramenta poderosa para analisar funções em termos de suas frequências.
Passo 3
Agora, sobre convergência uniforme: significa que, à medida que somamos mais termos da série, a aproximação da série para a função original fica boa de maneira consistente em todo o intervalo, sem depender de pontos específicos.
Passo 4
Olha a função . Ela é definida de forma diferente para negativo e não negativo:
Perceba que em , a função tem um salto: de para , ou seja, uma descontinuidade.
Passo 5
Funções com descontinuidades, como essa, têm problemas para ter séries de Fourier que convirjam uniformemente. Isso porque a convergência uniforme exigiria que a série se aproximasse da função de maneira consistente em todo o intervalo, o que não acontece próximo dos pontos de salto.
Resposta
Não existe uma série de Fourier que convirja uniformemente para em .