Considere a função
Mostre que não existe série de Fourier que convirja uniformemente a em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que não existe uma série de Fourier que convirja uniformemente para a função no intervalo . Vamos precisar entender o que é uma série de Fourier, o que significa convergência uniforme e analisar as características da função .

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre séries de Fourier. Elas são usadas para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. É uma ferramenta poderosa para analisar funções em termos de suas frequências.

Passo 3

Agora, sobre convergência uniforme: significa que, à medida que somamos mais termos da série, a aproximação da série para a função original fica boa de maneira consistente em todo o intervalo, sem depender de pontos específicos.

Passo 4

Olha a função . Ela é definida de forma diferente para negativo e não negativo:
Perceba que em , a função tem um salto: de para , ou seja, uma descontinuidade.

Passo 5

Funções com descontinuidades, como essa, têm problemas para ter séries de Fourier que convirjam uniformemente. Isso porque a convergência uniforme exigiria que a série se aproximasse da função de maneira consistente em todo o intervalo, o que não acontece próximo dos pontos de salto.

Resposta

Não existe uma série de Fourier que convirja uniformemente para em .

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