integral-pi / 2^pi / 2(8 y^2+sen y) d y

Passo 1

Então, temos que resolver a integral definida de a da função . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral para encontrar essa área. Precisamos integrar cada termo da função separadamente e depois aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar o termo integral 8y^2 , dy = 8 cdot y^33 = 8y^33 . A integral de em relação a é , onde é a constante de integração. Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos integrar . A integral de em relação a integral sen(y) , dy = -cos(y) é :

Passo 4

Juntando as duas integrais, a primitiva da função é:
F(y) = 8y^33 - cos(y)

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de integral-pi2^pi2 (8y^2 + sen(y)) , dy = F(pi2) - F(-pi2) a :

Passo 6

Calculando F(pi2) = 8(pi2)^33 - cos(pi2) = 8 cdot pi^383 - 0 = pi^33 :

Passo 7

Calculando F(-pi2) = 8(-pi2)^33 - cos(-pi2) = 8 cdot (-pi^38)3 - 0 = -pi^33 :

Passo 8

Subtraindo os resultados:
F(pi2) - F(-pi2) = pi^33 - (-pi^33) = 2pi^33

Resposta

A integral vale .

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