A figura mostra uma roda em rotação com raio de 40 cm e uma barra de conexão com comprimento de . O pino desliza para a frente e para trás no eixo à medida que a roda gira em sentido anti-horário a uma taxa de 360 revoluções por minuto.
Expresse a distância em termos de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma roda que gira com raio de 40 cm e uma barra de conexão com comprimento de 1,2 metros. O pino desliza no eixo enquanto a roda gira no sentido anti-horário a 360 rotações por minuto. A pergunta é para expressar a distância em termos do ângulo .
Vamos precisar de conhecimentos de geometria e trigonometria para resolver isso, especialmente entender como as posições se relacionam em movimentos circulares e deslizantes.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine a roda girando no plano, com o centro . À medida que a roda gira, a barra conecta um ponto fixo na roda até o pino que está se movendo ao longo do eixo .

Passo 3

Vamos considerar o ângulo como o ângulo que a barra faz com a linha vertical. Quando a roda gira, muda, e isso afeta a posição de no eixo .

Passo 4

Sabemos que o raio da roda é 40 cm (0,4 m) e o comprimento da barra é 1,2 m. Vamos desenhar um triângulo onde:
  • O lado vertical é igual ao raio da roda ( m).
  • A barra é o lado inclinado ( m).
  • A distância é a projeção horizontal da barra no eixo .

Passo 5

Usando trigonometria, especificamente o cosseno do ângulo , podemos relacionar esses lados:
Mas queremos expressar em termos de , então precisamos rearranjar a equação.

Passo 6

A projeção pode ser expressa como:
Aqui, adicionamos o raio da roda à componente horizontal da barra .

Resposta

A distância em termos de é:

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, onde é a fronteira da região limitada por e
, onde é a fronteira da região .
Determine a série de Fourier da função dada.
Considere a função
Mostre que não existe série de Fourier que convirja uniformemente a em .