Beleza, vamos resolver esse exercício de série de Fourier juntos! A parada aqui é determinar a série de Fourier da função , que é definida de maneira diferente em cada intervalo dentro de a . Para isso, vamos precisar entender como construir uma série de Fourier para funções periódicas, calcular os coeficientes , e , e montar a série completa.
Passo 2
Primeiro, é bom lembrar que a série de Fourier de uma função periódica com período é dada por:
Onde:
é o coeficiente do termo constante,
são os coeficientes dos termos de cosseno,
são os coeficientes dos termos de seno.
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente . Esse coeficiente representa a média da função no intervalo considerado e é calculado por:
Vamos dividir essa integral nos três intervalos onde a função está definida.
Passo 4
Para , . Então,
Para , . Então,
Para , . Então,
Somando tudo:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes :
Vamos dividir a integral nos mesmos três intervalos.
Passo 6
Para , . Então,
Para , . Então,
E para , . Então,
Pois .
Passo 7
Focando na integral de a :
Vamos resolver essa integral por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando integração por partes:
Calculando:
E a segunda integral:
Portanto:
Passo 8
Agora, vamos calcular os coeficientes :
Novamente, dividimos a integral nos três intervalos.
Passo 9
Para , . Então,
Para , . Então,
E para , . Então,
Passo 10
Vamos resolver a integral de a :
Usando integração por partes novamente, seja e . Então, e .