Determine a série de Fourier da função dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de série de Fourier juntos! A parada aqui é determinar a série de Fourier da função , que é definida de maneira diferente em cada intervalo dentro de a . Para isso, vamos precisar entender como construir uma série de Fourier para funções periódicas, calcular os coeficientes , e , e montar a série completa.

Passo 2

Primeiro, é bom lembrar que a série de Fourier de uma função periódica com período é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente do termo constante,
  • são os coeficientes dos termos de cosseno,
  • são os coeficientes dos termos de seno.

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente . Esse coeficiente representa a média da função no intervalo considerado e é calculado por:
Vamos dividir essa integral nos três intervalos onde a função está definida.

Passo 4

Para , . Então,
Para , . Então,
Para , . Então,
Somando tudo:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Vamos dividir a integral nos mesmos três intervalos.

Passo 6

Para , . Então,
Para , . Então,
E para , . Então,
Pois .

Passo 7

Focando na integral de a :
Vamos resolver essa integral por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando integração por partes:
Calculando:
E a segunda integral:
Portanto:

Passo 8

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Novamente, dividimos a integral nos três intervalos.

Passo 9

Para , . Então,
Para , . Então,
E para , . Então,

Passo 10

Vamos resolver a integral de a :
Usando integração por partes novamente, seja e . Então, e .
Aplicando:
Calculando:
E a segunda integral:
Portanto:

Passo 11

Somando as duas partes para :
Simplificando:
Pois .

Resposta

A série de Fourier da função é dada por:

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A figura mostra uma roda em rotação com raio de 40 cm e uma barra de conexão com comprimento de . O pino desliza para a frente e para trás no eixo à medida que a roda gira em sentido anti-horário a uma taxa de 360 revoluções por minuto.
Expresse a distância em termos de .
, onde é a fronteira da região limitada por e
Considere a função
Mostre que não existe série de Fourier que convirja uniformemente a em .