Seja f: Z Z12 dada por f(x)=4 x+3.
Seja J=5 k mid k in Z cup10 l mid l in Z. Encontre f(I).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma função definida por . Isso significa que para qualquer número inteiro , aplicamos a fórmula e consideramos o resultado módulo 12.
Além disso, temos o conjunto . Isso significa que é a união de todos os múltiplos de 5 e de todos os múltiplos de 10.
Objetivo: Encontrar , ou seja, todos os resultados quando pertence a .

Passo 2

Vamos começar analisando o conjunto J = 5k mid k in Z .
  • representa todos os múltiplos de 5.
  • representa todos os múltiplos de 10.
Como todo múltiplo de 10 também é múltiplo de 5, a união desses conjuntos ainda é igual a . Portanto, podemos simplificar para:

Passo 3

Agora, vamos entender como a função f(5k) = 4(5k) + 3 = 20k + 3 atua sobre . Queremos encontrar todos os valores de onde é múltiplo de 5.
Vamos substituir na função :
Aqui, significa que estamos considerando o valor de módulo 12.

Passo 4

Vamos simplificar 20k = 12k + 8k módulo 12. Primeiro, observe que:
20k + 3 = 12k + 8k + 3
Então,
20k + 3 equiv 8k + 3 pmod12
Quando consideramos isso módulo 12, o termo f(5k) = 8k + 3 desaparece, pois é múltiplo de 12. Assim:
Portanto,

Passo 5

Agora, precisamos determinar todos os possíveis valores de 8k equiv 0, 8, 4 pmod12 módulo 12 para .
Vamos observar os diferentes valores de e ver como se comporta módulo 12.
Perceba que o padrão se repete a cada 3 valores de :
Então, somando 3:
  • Se , então
  • Se , então
  • Se , então

Resposta

Portanto, em .

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