Seja f: R^2 R dada por f(x, y)=x y-2.
Obter f^-1([0,2]).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . O objetivo é encontrar o conjunto inverso , ou seja, todos os pares que, quando aplicados na função , resultam em valores entre 0 e 2. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular desigualdades e trabalhar com a definição de imagem inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o que significa 0 <= f(x, y) <= 2 . Isso quer dizer que queremos todos os 0 <= xy - 2 <= 2 tais que esteja no intervalo . Matemáticamente, isso fica:
Substituindo a expressão de :

Passo 3

Agora, vamos resolver a desigualdade para encontrar as condições sobre 2 <= xy <= 4 e . Primeiro, adicionamos 2 em todas as partes da desigualdade para isolar :
Isso significa que o produto de e deve ser pelo menos 2 e no máximo 4.

Passo 4

Portanto, o conjunto inverso é o conjunto de todos os pares reais tais que o produto está entre 2 e 4.

Resposta

f^-1([0,2]) = , (x, y) in R^2 mid 2 <= xy <= 4 ,

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