Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
(e) f(t) = cos(a t)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Laplace da função usando a definição da transformada. A transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática que transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, o que é muito útil em engenharia e física para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição da transformada de Laplace. Para uma função , a transformada de Laplace é dada por:
Isso significa que precisamos integrar a função multiplicada por de até .

Passo 3

Substituindo na definição, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 4

Para resolver a integral , podemos utilizar uma fórmula padrão da transformada de Laplace para o cosseno. A integral resultante é conhecida e pode ser calculada usando integrais de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 5

A integral é igual a:
Essa é a transformada de Laplace da função cosseno.

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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