Considere a função
definida por
© Obtenha uma série numérica para a integral definida
. Explique como aproximar o valor dessa integral com erro inferior a 0,01 .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que precisamos fazer aqui. A gente tem uma função definida por uma integral:
E a gente quer obter uma série numérica para a integral definida de 0 a 1/4:
Para isso, vamos usar séries de potências e algumas propriedades de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Note que:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos expandir
em uma série de potências. Sabemos que para
:
Aqui,
, então a série fica válida para
, ou seja,
, o que é verdade no nosso caso (
).
Passo 4
Substituindo
na série, temos:
Multiplicando por
, a expressão dentro da integral se torna:
Passo 5
Agora, nossa integral é:
Podemos trocar a ordem da soma e da integral (desde que a série convirja uniformemente), então fica:
Passo 6
Integrando
, temos:
Então, a série fica:
Passo 7
Simplificando um pouco os termos, temos:
Passo 8
Agora, para aproximar o valor dessa integral com erro menor que 0,01, vamos calcular os termos da série até que o próximo termo seja menor que 0,01 em valor absoluto. Ou seja, vamos somar os termos até que
.
Resposta
A série numérica para a integral é:
Para aproximar o valor da integral com erro menor que 0,01, somamos os termos dessa série até que o próximo termo seja menor que 0,01 em módulo.