Considere a função f:(0, infty) R definida por
f(x)=integral0^x t ln (11+2 t) d t
© Obtenha uma série numérica para a integral definida integral0^1 / 4 x ln (11+2 x) d x. Explique como aproximar o valor dessa integral com erro inferior a 0,01 .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que precisamos fazer aqui. A gente tem uma função definida por uma integral:
f(x) = integral0^x t ln (11+2t) dt
E a gente quer obter uma série numérica para a integral definida de 0 a 1/4:
integral0^1/4 x ln (11+2x) dx
Para isso, vamos usar séries de potências e algumas propriedades de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Note que:
ln(11+2x) = -ln(1+2x)
Então, nossa integral fica:
-integral0^1/4 x ln(1+2x) dx

Passo 3

Agora, vamos expandir ln(1+2x) em uma série de potências. Sabemos que para |y| < 1:
ln(1+y) = sumn=1^infty (-1)^n+1 y^nn
Aqui, y = 2x, então a série fica válida para |2x| < 1, ou seja, |x| < 12, o que é verdade no nosso caso ( x <= 14).

Passo 4

Substituindo y = 2x na série, temos:
ln(1+2x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 (2x)^nn
Multiplicando por -x, a expressão dentro da integral se torna:
- x ln(1+2x) = -x sumn=1^infty (-1)^n+1 (2x)^nn = sumn=1^infty (-1)^n 2^n x^n+1n

Passo 5

Agora, nossa integral é:
integral0^1/4 sumn=1^infty (-1)^n 2^n x^n+1n dx
Podemos trocar a ordem da soma e da integral (desde que a série convirja uniformemente), então fica:
sumn=1^infty (-1)^n 2^nn integral0^1/4 x^n+1 dx

Passo 6

Integrando x^n+1, temos:
integral0^1/4 x^n+1 dx = [ x^n+2n+2 ]0^1/4 = (1/4)^n+2n+2
Então, a série fica:
sumn=1^infty (-1)^n 2^nn(n+2) (14)^n+2

Passo 7

Simplificando um pouco os termos, temos:

Passo 8

Agora, para aproximar o valor dessa integral com erro menor que 0,01, vamos calcular os termos da série até que o próximo termo seja menor que 0,01 em valor absoluto. Ou seja, vamos somar os termos até que |an| < 0,01.

Resposta

A série numérica para a integral é:
sumn=1^infty (-1)^nn(n+2) 2^n+2
Para aproximar o valor da integral com erro menor que 0,01, somamos os termos dessa série até que o próximo termo seja menor que 0,01 em módulo.

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