Lembre que sen x=sumk=0^infty (-1)^k(2 k+1)! x^2 k+1, qualquer que seja x.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função f(x)=x^4 sen(5 x^3) e o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin da função e determinar seu intervalo de convergência. A série de Maclaurin é uma série de potências que expande uma função ao redor de sen(x) = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1 . Para isso, vamos usar a expressão da série de Taylor para a função seno que foi dada:
Vamos precisar manipular essa série para adaptá-la à função .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir sen(5x^3) = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! (5x^3)^2k+1 por (5x^3)^2k+1 = 5^2k+1 x^3(2k+1) = 5^2k+1 x^6k+3 na série do seno, pois queremos . Isso fica assim:
Simplificando o termo dentro da soma:
sen(5x^3) = sumk=0^infty (-1)^k 5^2k+1(2k+1)! x^6k+3
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa série por f(x) = x^4 sen(5x^3) = x^4 sumk=0^infty (-1)^k 5^2k+1(2k+1)! x^6k+3 para obter :
Multiplicando f(x) = sumk=0^infty (-1)^k 5^2k+1(2k+1)! x^6k+3+4 = sumk=0^infty (-1)^k 5^2k+1(2k+1)! x^6k+7 pelos termos da série:
f(x) = sumk=0^infty (-1)^k 5^2k+1(2k+1)! x^6k+7
Portanto, a série de Maclaurin de é:

Passo 4

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de Maclaurin para converge para todo , ou seja, o raio de convergência é infinito.
Como substituímos por e multiplicamos por , isso não altera o raio de convergência original. Portanto, a série de também converge para todo .

Resposta

A série de Maclaurin da função é:
f(x) = sumk=0^infty (-1)^k 5^2k+1(2k+1)! x^6k+7
E o intervalo de convergência é (todos os números reais).

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