Lembre que sen
, qualquer que seja
.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função
e o seu intervalo de convergência.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin da função e determinar seu intervalo de convergência. A série de Maclaurin é uma série de potências que expande uma função ao redor de
. Para isso, vamos usar a expressão da série de Taylor para a função seno que foi dada:
Vamos precisar manipular essa série para adaptá-la à função
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
na série do seno, pois queremos . Isso fica assim:
Simplificando o termo dentro da soma:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa série por
para obter :
Multiplicando
pelos termos da série:
Portanto, a série de Maclaurin de
é:
Passo 4
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de Maclaurin para converge para todo
, ou seja, o raio de convergência é infinito.
Como substituímos
por
e multiplicamos por
, isso não altera o raio de convergência original. Portanto, a série de
também converge para todo
.
Resposta
A série de Maclaurin da função é:
E o intervalo de convergência é
(todos os números reais).
Exercícios relacionados
Considere a função
definida por
© Obtenha uma série numérica para a integral definida
. Explique como aproximar o valor dessa integral com erro inferior a 0,01 .
Lembre que sen
, qualquer que seja
.
© Obtenha a série de Maclaurin da função , derivada da função do item (b), e o seu intervalo de convergência.
© Obtenha a série de Maclaurin da função
Observe que
e lembre que
, para
.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função e o seu intervalo de convergência.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função
Considere a função
definida por
(a) Obtenha uma série de potências para a função
e determine o seu intervalo de convergência.