Lembre que sen , qualquer que seja .
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função e o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin da função e determinar seu intervalo de convergência. A série de Maclaurin é uma série de potências que expande uma função ao redor de . Para isso, vamos usar a expressão da série de Taylor para a função seno que foi dada:
Vamos precisar manipular essa série para adaptá-la à função .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por na série do seno, pois queremos . Isso fica assim:
Simplificando o termo dentro da soma:
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa série por para obter :
Multiplicando pelos termos da série:
Portanto, a série de Maclaurin de é:

Passo 4

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de Maclaurin para converge para todo , ou seja, o raio de convergência é infinito.
Como substituímos por e multiplicamos por , isso não altera o raio de convergência original. Portanto, a série de também converge para todo .

Resposta

A série de Maclaurin da função é:
E o intervalo de convergência é (todos os números reais).

Exercícios relacionados

Considere a função definida por
© Obtenha uma série numérica para a integral definida . Explique como aproximar o valor dessa integral com erro inferior a 0,01 .
Lembre que sen , qualquer que seja .
© Obtenha a série de Maclaurin da função , derivada da função do item (b), e o seu intervalo de convergência.
Observe que e lembre que , para .
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função e o seu intervalo de convergência.
Considere a função definida por
(a) Obtenha uma série de potências para a função e determine o seu intervalo de convergência.