Lembre que sen x=sumk=0^infty (-1)^k(2 k+1)! x^2 k+1, qualquer que seja x.
© Obtenha a série de Maclaurin da função f^prime(x), derivada da função do item (b), e o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a série de Maclaurin da função seno, que é:
sin x = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1
A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente derivadas e séries de Maclaurin. O que precisamos fazer é encontrar a série de Maclaurin da derivada dessa função, ou seja, de , e também determinar o intervalo em que essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma série de potências centrada em 0 que representa uma função. No caso, já temos a série de Maclaurin do seno, e queremos encontrar a série da derivada dessa função.

Passo 3

Sabemos que a derivada de uma série de potências pode ser obtida derivando termo a termo. Então, vamos derivar cada termo da série de f(x) = sin x = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1 :
f'(x) = cos x = sumk=0^infty ddx( (-1)^k(2k+1)! x^2k+1 )
Derivando cada termo em relação a :

Passo 4

Aplicando a regra da derivada para cada termo:
f'(x) = cos x = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! cdot (2k+1) cdot x^2k
Simplificando o termo f'(x) = cos x = sumk=0^infty (-1)^k(2k)! x^2k com :

Passo 5

Agora, temos a série de Maclaurin para cos x = sumk=0^infty (-1)^k(2k)! x^2k :
Para encontrar o intervalo de convergência, observamos que a série de Maclaurin do seno converge para todo , já que o raio de convergência das séries de potências para funções trigonométricas é infinito.

Resposta

A série de Maclaurin da função f'(x) = cos x = sumk=0^infty (-1)^k(2k)! x^2k é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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