Lembre que sen
, qualquer que seja
.
© Obtenha a série de Maclaurin da função
, derivada da função do item (b), e o seu intervalo de convergência.
© Obtenha a série de Maclaurin da função
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a série de Maclaurin da função seno, que é:
A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente derivadas e séries de Maclaurin. O que precisamos fazer é encontrar a série de Maclaurin da derivada dessa função, ou seja, de
, e também determinar o intervalo em que essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma série de potências centrada em 0 que representa uma função. No caso, já temos a série de Maclaurin do seno, e queremos encontrar a série da derivada dessa função.
Passo 3
Sabemos que a derivada de uma série de potências pode ser obtida derivando termo a termo. Então, vamos derivar cada termo da série de
:
Derivando cada termo em relação a
:
Passo 4
Aplicando a regra da derivada para cada termo:
Simplificando o termo
com
:
Passo 5
Agora, temos a série de Maclaurin para
:
Para encontrar o intervalo de convergência, observamos que a série de Maclaurin do seno converge para todo
, já que o raio de convergência das séries de potências para funções trigonométricas é infinito.
Resposta
A série de Maclaurin da função
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.