Lembre que sen , qualquer que seja .
© Obtenha a série de Maclaurin da função , derivada da função do item (b), e o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a série de Maclaurin da função seno, que é:
A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente derivadas e séries de Maclaurin. O que precisamos fazer é encontrar a série de Maclaurin da derivada dessa função, ou seja, de , e também determinar o intervalo em que essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. É uma série de potências centrada em 0 que representa uma função. No caso, já temos a série de Maclaurin do seno, e queremos encontrar a série da derivada dessa função.

Passo 3

Sabemos que a derivada de uma série de potências pode ser obtida derivando termo a termo. Então, vamos derivar cada termo da série de :
Derivando cada termo em relação a :

Passo 4

Aplicando a regra da derivada para cada termo:
Simplificando o termo com :

Passo 5

Agora, temos a série de Maclaurin para :
Para encontrar o intervalo de convergência, observamos que a série de Maclaurin do seno converge para todo , já que o raio de convergência das séries de potências para funções trigonométricas é infinito.

Resposta

A série de Maclaurin da função é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

Exercícios relacionados

Lembre que .
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função , bem como o raio de convergência da série obtida.
Lembre que sen , qualquer que seja .
(d) Encontre a expressão da função cuja série de Maclaurin é .
Considere a função definida por
© Obtenha uma série numérica para a integral definida . Explique como aproximar o valor dessa integral com erro inferior a 0,01 .
Lembre que sen , qualquer que seja .
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função e o seu intervalo de convergência.