Lembre que
.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função
, bem como o raio de convergência da série obtida.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a série de Maclaurin para a função
. A matéria envolvida aqui é o desenvolvimento em séries de Taylor (no caso, Maclaurin, que é Taylor em torno de 0). Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função exponencial
e fazer umas manobras matemáticas para adaptar isso à nossa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a série de Maclaurin do
, que é dada por:
Mas na nossa função temos
, então vamos substituir
por
na série:
Passo 3
Agora, nossa função é
. Vamos multiplicar essa série que acabamos de encontrar por
:
Passo 4
Para simplificar, vamos ajustar o índice da série. Vamos substituir
por
, de forma que a potência de
fique
:
Mas é mais comum expressar a série começando em
, então podemos deixar assim mesmo.
Passo 5
Então, a série de Maclaurin de
é:
Passo 6
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de
tem raio de convergência infinito, já que o exponencial converge para todo
. Como multiplicamos por
, isso não altera o raio de convergência. Portanto, o raio de convergência da nossa série também é infinito.
Resposta
A série de Maclaurin da função
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.
Exercícios relacionados
Lembre que sen
, qualquer que seja
.
(d) Encontre a expressão da função cuja série de Maclaurin é .
(d) Encontre a expressão da função cuja série de Maclaurin é
Lembre que
.
(a) Obtenha uma série numérica que converge para o número de Euler.
(a) Obtenha uma série numérica que converge para o número de Euler.
Lembre que sen
, qualquer que seja
.
© Obtenha a série de Maclaurin da função , derivada da função do item (b), e o seu intervalo de convergência.
© Obtenha a série de Maclaurin da função
Considere a função
definida por
© Obtenha uma série numérica para a integral definida
. Explique como aproximar o valor dessa integral com erro inferior a 0,01 .