Lembre que forall x in R, e^x=sumk=0^infty x^kk!.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função f(x)=x^2 e^-x^2, bem como o raio de convergência da série obtida.

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a série de Maclaurin para a função . A matéria envolvida aqui é o desenvolvimento em séries de Taylor (no caso, Maclaurin, que é Taylor em torno de 0). Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função exponencial e fazer umas manobras matemáticas para adaptar isso à nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a série de Maclaurin do e^x = sumk=0^infty x^kk! , que é dada por:
e^-x^2 = sumk=0^infty (-x^2)^kk! = sumk=0^infty (-1)^k x^2kk!
Mas na nossa função temos , então vamos substituir por na série:

Passo 3

Agora, nossa função é f(x) = x^2 cdot e^-x^2 = x^2 cdot sumk=0^infty (-1)^k x^2kk! = sumk=0^infty (-1)^k x^2k + 2k! . Vamos multiplicar essa série que acabamos de encontrar por :

Passo 4

Para simplificar, vamos ajustar o índice da série. Vamos substituir f(x) = sumk=0^infty (-1)^k x^2(k+1)k! = sumk=0^infty (-1)^k x^2k + 2k! por , de forma que a potência de fique :
Mas é mais comum expressar a série começando em , então podemos deixar assim mesmo.

Passo 5

Então, a série de Maclaurin de f(x) = sumk=0^infty (-1)^k x^2k + 2k! é:

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de tem raio de convergência infinito, já que o exponencial converge para todo . Como multiplicamos por , isso não altera o raio de convergência. Portanto, o raio de convergência da nossa série também é infinito.

Resposta

A série de Maclaurin da função f(x) = sumk=0^infty (-1)^k x^2k + 2k! é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

Exercícios relacionados