Lembre que .
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função , bem como o raio de convergência da série obtida.

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a série de Maclaurin para a função . A matéria envolvida aqui é o desenvolvimento em séries de Taylor (no caso, Maclaurin, que é Taylor em torno de 0). Para resolver isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função exponencial e fazer umas manobras matemáticas para adaptar isso à nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a série de Maclaurin do , que é dada por:
Mas na nossa função temos , então vamos substituir por na série:

Passo 3

Agora, nossa função é . Vamos multiplicar essa série que acabamos de encontrar por :

Passo 4

Para simplificar, vamos ajustar o índice da série. Vamos substituir por , de forma que a potência de fique :
Mas é mais comum expressar a série começando em , então podemos deixar assim mesmo.

Passo 5

Então, a série de Maclaurin de é:

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de tem raio de convergência infinito, já que o exponencial converge para todo . Como multiplicamos por , isso não altera o raio de convergência. Portanto, o raio de convergência da nossa série também é infinito.

Resposta

A série de Maclaurin da função é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

Exercícios relacionados

Lembre que sen , qualquer que seja .
(d) Encontre a expressão da função cuja série de Maclaurin é .
Lembre que .
(a) Obtenha uma série numérica que converge para o número de Euler.
Lembre que sen , qualquer que seja .
© Obtenha a série de Maclaurin da função , derivada da função do item (b), e o seu intervalo de convergência.
Considere a função definida por
© Obtenha uma série numérica para a integral definida . Explique como aproximar o valor dessa integral com erro inferior a 0,01 .