Observe que
e lembre que
, para
.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função
e o seu intervalo de convergência.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de Maclaurin para a função
. A matéria envolvida aqui é séries de Maclaurin, que são séries de potências centradas em 0. Para resolver, vamos precisar conhecer a expansão de séries para funções do tipo
e adaptar isso para a nossa função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da expansão da série geométrica básica:
Agora, sabemos que:
Essa é a expansão que vamos utilizar, adaptando para a nossa função.
Passo 3
No nosso caso, a função no denominador é
ao quadrado. Vamos fazer uma substituição para ajustar a fórmula que temos:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, multiplicamos tudo pela
que está no numerador da nossa função
:
Passo 5
Portanto, a série de Maclaurin para
é:
E o intervalo de convergência da série é:
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
E o intervalo de convergência é
.