Observe que 1(1+x)^2=dd x(-11+x) e lembre que 11-x=sumk=0^infty x^k, para -1.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função g(x)=x^5(1+4 x^2)^2 e o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de Maclaurin para a função . A matéria envolvida aqui é séries de Maclaurin, que são séries de potências centradas em 0. Para resolver, vamos precisar conhecer a expansão de séries para funções do tipo e adaptar isso para a nossa função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da expansão da série geométrica básica:
11 - x = sumk=0^infty x^k, para |x| < 1
Agora, sabemos que:
1(1 + x)^2 = ddx(-11+x) = sumk=0^infty (-1)^k (k+1) x^k
Essa é a expansão que vamos utilizar, adaptando para a nossa função.

Passo 3

No nosso caso, a função no denominador é 1(1 + 4x^2)^2 = sumk=0^infty (-1)^k (k+1) (4x^2)^k, para |4x^2| < 1 Rightarrow |x| < 12 ao quadrado. Vamos fazer uma substituição para ajustar a fórmula que temos:
sumk=0^infty (-1)^k (k+1) 4^k x^2k
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, multiplicamos tudo pela g(x) = x^5 cdot 1(1 + 4x^2)^2 = x^5 cdot sumk=0^infty (-1)^k (k+1) 4^k x^2k = sumk=0^infty (-1)^k (k+1) 4^k x^5 + 2k que está no numerador da nossa função :

Passo 5

Portanto, a série de Maclaurin para g(x) = sumk=0^infty (-1)^k (k+1) 4^k x^5 + 2k é:
|x| < 12
E o intervalo de convergência da série é:

Resposta

A série de Maclaurin de g(x) = sumk=0^infty (-1)^k (k+1) 4^k x^5 + 2k é:
E o intervalo de convergência é .

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