Considere a função f(t) = { arctg(1/t), se t ≠ 0; 0, se t = 0 } e a função vetorial
r(t) = <raiz(t + 1), f(t), ln(t^2 + 1)>
© Determine em que pontos a função vetorial r é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão! A gente precisa descobrir em quais pontos a função vetorial é contínua. Para isso, vamos trabalhar com os componentes dessa função e verificar a continuidade de cada uma delas. Vamos precisar entender o que é continuidade e como aplicar isso em funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira componente de , que é . A raiz quadrada está definida e é contínua sempre que o que está dentro dela for maior ou igual a zero. Então, precisamos que , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente, que é . A função é contínua para todos os . No ponto , precisamos verificar o limite de quando se aproxima de 0.

Passo 4

Calculando o limite de quando se aproxima de 0:
Se se aproxima de 0 pela direita ( ), vai para , então .
Se se aproxima de 0 pela esquerda ( ), vai para , então .
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe. Logo, não é contínua em .

Passo 5

Por último, vamos analisar a terceira componente, . O logaritmo natural é contínuo para todos os argumentos positivos. Como é sempre maior que 0 para qualquer , essa componente é contínua em todo .

Resposta

A função vetorial é contínua para todo , exceto no ponto .

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