Considere a função
e a função vetorial
© Determine em que pontos a função vetorial
é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão! A gente precisa descobrir em quais pontos a função vetorial
é contínua. Para isso, vamos trabalhar com os componentes dessa função e verificar a continuidade de cada uma delas. Vamos precisar entender o que é continuidade e como aplicar isso em funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a primeira componente de
, que é
. A raiz quadrada está definida e é contínua sempre que o que está dentro dela for maior ou igual a zero. Então, precisamos que
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente, que é
. A função
é contínua para todos os
. No ponto
, precisamos verificar o limite de
quando
se aproxima de 0.
Passo 4
Calculando o limite de
quando
se aproxima de 0:
Se
se aproxima de 0 pela direita (
),
vai para
, então
.
Se se aproxima de 0 pela esquerda (
),
vai para
, então
.
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe. Logo, não é contínua em
.
Se
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe. Logo,
Passo 5
Por último, vamos analisar a terceira componente,
. O logaritmo natural é contínuo para todos os argumentos positivos. Como
é sempre maior que 0 para qualquer
, essa componente é contínua em todo .
Resposta
A função vetorial
é contínua para todo
, exceto no ponto
.
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, em que
e
é o versor de
.
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