[Exercício sobre derivada direcional] Calcule
, em que
e
é o versor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivada direcional. A gente precisa calcular a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
, que é o versor de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o gradiente e a definição de derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função
na direção de um vetor
a partir de um ponto específico. Matematicamente, a derivada direcional de
na direção de
em
é dada por:
Aqui,
é o gradiente de
, que é um vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente
. Para isso, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Segundo, a derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Porque
.
Passo 5
Em seguida, precisamos determinar o vetor unitário
na direção de
. Para isso, vamos dividir cada componente por seu módulo.
O módulo de
é:
Então, o versor
é:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é
.
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