[Exercício sobre derivada direcional] Calcule partial fpartial u(x0, y0), em que f(x, y)=e^x^2-y^2,(x0, y0)=(1,1) e u é o versor de (3,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivada direcional. A gente precisa calcular a derivada direcional de no ponto na direção do vetor , que é o versor de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o gradiente e a definição de derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos dá a taxa de variação da função partial fpartial u(x0, y0) = nabla f(x0, y0) cdot u na direção de um vetor a partir de um ponto específico. Matematicamente, a derivada direcional de na direção de em é dada por:
Aqui, é o gradiente de , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente partial fpartial x = partialpartial x ( e^x^2-y^2 ) = e^x^2-y^2 cdot 2x . Para isso, precisamos encontrar as derivadas parciais de partial fpartial y = partialpartial y ( e^x^2-y^2 ) = e^x^2-y^2 cdot (-2y) em relação a nabla f(x, y) = ( 2x e^x^2-y^2, -2y e^x^2-y^2 ) e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Segundo, a derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto nabla f(1, 1) = ( 2 cdot 1 cdot e^1^2-1^2, -2 cdot 1 cdot e^1^2-1^2 ) = ( 2e^0, -2e^0 ) = (2, -2) :
Porque .

Passo 5

Em seguida, precisamos determinar o vetor unitário |u| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 na direção de u = ( 35, 45 ) . Para isso, vamos dividir cada componente por seu módulo.
O módulo de é:
Então, o versor é:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
partial fpartial u(1, 1) = nabla f(1, 1) cdot u = (2, -2) cdot ( 35, 45 ) = 2 cdot 35 + (-2) cdot 45 = 65 - 85 = -25

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

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