Considere a função
, em que
e
, dada por
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos apresenta uma função
, onde o domínio
é o conjunto de todos os pares
no plano real que satisfazem
e
. A função é dada por:
O que a gente precisa fazer é mostrar que a imagem dessa função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir, é o intervalo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a imagem da função. A imagem
é o conjunto de todos os valores que
pode assumir quando
varia dentro do domínio
.
Como estamos falando de
e
, sabemos que ambos são sempre maiores ou iguais a zero, porque o quadrado de qualquer número real não é negativo:
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão da função:
Como
e
são ambos maiores ou iguais a zero, a soma deles também será maior ou igual a zero:
Adicionando 1 a ambos os lados:
Isso nos mostra que o menor valor que
pode assumir é 1.
Passo 4
Agora, queremos mostrar que todos os valores a partir de 1 são realmente alcançados pela função. Ou seja, para qualquer número real
onde
, existe pelo menos um par
no domínio
tal que
.
Vamos resolver para
:
Como
,
, então existe pelo menos um par
que satisfaz essa equação.
Passo 5
Para ilustrar que todos os valores a partir de 1 são possíveis, fixemos um valor específico de
, por exemplo,
. Nesse caso:
Queremos que isso seja igual a
:
Como estamos no domínio
onde
, escolhemos
. Assim, para cada
, existe um
que faz
.
Passo 6
Além disso, se quisermos variar
, podemos escolher
e
, mantendo sempre
e
. Dessa forma, temos flexibilidade para atingir qualquer valor
maior ou igual a 1.
Resposta
Portanto, mostramos que a imagem da função
é o intervalo
.