Considere a função f: D -> R, em que D = {(x, y) in R^2 ; x <= 0} e y <= 0, dada por f(x, y) = x^2 + y^2 + 1. Mostre que Im(f) = [1, +infinito).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos apresenta uma função , onde o domínio é o conjunto de todos os pares no plano real que satisfazem e . A função é dada por:
O que a gente precisa fazer é mostrar que a imagem dessa função, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir, é o intervalo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir quando varia dentro do domínio .
Como estamos falando de e , sabemos que ambos são sempre maiores ou iguais a zero, porque o quadrado de qualquer número real não é negativo:

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão da função:
Como e são ambos maiores ou iguais a zero, a soma deles também será maior ou igual a zero:
Adicionando 1 a ambos os lados:
Isso nos mostra que o menor valor que pode assumir é 1.

Passo 4

Agora, queremos mostrar que todos os valores a partir de 1 são realmente alcançados pela função. Ou seja, para qualquer número real onde , existe pelo menos um par no domínio tal que .
Vamos resolver para :
Como , , então existe pelo menos um par que satisfaz essa equação.

Passo 5

Para ilustrar que todos os valores a partir de 1 são possíveis, fixemos um valor específico de , por exemplo, . Nesse caso:
Queremos que isso seja igual a :
Como estamos no domínio onde , escolhemos . Assim, para cada , existe um que faz .

Passo 6

Além disso, se quisermos variar , podemos escolher e , mantendo sempre e . Dessa forma, temos flexibilidade para atingir qualquer valor maior ou igual a 1.

Resposta

Portanto, mostramos que a imagem da função é o intervalo .

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