Considere a função
f(x)=cc x^2-1, & se -1 <= x<0 2 x, & se 0
a) Existe f(-1) ?
b) Existe lim x -1^+ f(x)
c) Existe lim x -1^+ f(x)=f(-1)
d) f é contínua em x=-1 ?
e) Existe f(1) ?
f) Existe lim x 1 f(x) ?

Passo 1

Vamos começar entendendo a pergunta a). Queremos saber se existe o valor da função . Isso envolve entender como a função está definida perto de e verificar se o ponto está incluso no domínio da função.

Passo 2

Observando a definição da função , vemos que para , a função é dada por . O símbolo indica que está incluído nessa parte da definição. Portanto, para , podemos usar essa expressão para encontrar .

Passo 3

A pergunta b) quer saber se o limite de quando se aproxima de pela direita ( ) existe. Vamos ver como a função se comporta à medida que nos aproximamos de por valores maiores que .

Passo 4

Para limx -1^+ f(x) = limx -1^+ (x^2 - 1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 próximo de pela direita, mas ainda menor que 0, usamos a definição . Então, calculamos:

Passo 5

Na pergunta c), queremos saber se o limite que acabamos de calcular é igual a . Isso é importante para verificar a continuidade da função naquele ponto.

Passo 6

Já sabemos que limx -1^+ f(x) = f(-1) e . Portanto:

Passo 7

A pergunta d) pergunta se a função é contínua em . Para uma função ser contínua em um ponto, o limite quando se aproxima desse ponto deve existir e ser igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 8

Já vimos que e . Além disso, como a função está definida à esquerda de apenas no ponto , o limite pela esquerda não é necessário para a continuidade à direita. Portanto, a função é contínua em .

Passo 9

A pergunta e) quer saber se existe. Vamos verificar como a função está definida para .

Passo 10

Na definição da função , temos que para , . Portanto, o valor de está explicitamente definido.

Passo 11

Finalmente, a pergunta f) pergunta se o limite de quando se aproxima de 1 existe. Vamos analisar os limites pela esquerda e pela direita de .

Passo 12

Para limx 1^- f(x) = limx 1^- 2x = 2 times 1 = 2 se aproximando de 1 pela esquerda ( limx 1^+ f(x) = limx 1^+ (-2x + 4) = -2 times 1 + 4 = 2 ), usamos a definição . Então:
Para se aproximando de 1 pela direita ( ), usamos a definição . Então:
Ambos os limites laterais são iguais, portanto o limite geral existe e é igual a 2.

Resposta

Sim, existe e é igual a 2.

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