a) Existe ?
b) Existe
c) Existe
d) é contínua em ?
e) Existe ?
f) Existe ?
Passo 1
Vamos começar entendendo a pergunta a). Queremos saber se existe o valor da função . Isso envolve entender como a função está definida perto de e verificar se o ponto está incluso no domínio da função.
Passo 2
Observando a definição da função , vemos que para , a função é dada por . O símbolo indica que está incluído nessa parte da definição. Portanto, para , podemos usar essa expressão para encontrar .
Passo 3
A pergunta b) quer saber se o limite de quando se aproxima de pela direita () existe. Vamos ver como a função se comporta à medida que nos aproximamos de por valores maiores que .
Passo 4
Para próximo de pela direita, mas ainda menor que 0, usamos a definição . Então, calculamos:
Passo 5
Na pergunta c), queremos saber se o limite que acabamos de calcular é igual a . Isso é importante para verificar a continuidade da função naquele ponto.
Passo 6
Já sabemos que e . Portanto:
Passo 7
A pergunta d) pergunta se a função é contínua em . Para uma função ser contínua em um ponto, o limite quando se aproxima desse ponto deve existir e ser igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 8
Já vimos que e . Além disso, como a função está definida à esquerda de apenas no ponto , o limite pela esquerda não é necessário para a continuidade à direita. Portanto, a função é contínua em .
Passo 9
A pergunta e) quer saber se existe. Vamos verificar como a função está definida para .
Passo 10
Na definição da função , temos que para , . Portanto, o valor de está explicitamente definido.
Passo 11
Finalmente, a pergunta f) pergunta se o limite de quando se aproxima de 1 existe. Vamos analisar os limites pela esquerda e pela direita de .
Passo 12
Para se aproximando de 1 pela esquerda (), usamos a definição . Então:
Para se aproximando de 1 pela direita (), usamos a definição . Então:
Ambos os limites laterais são iguais, portanto o limite geral existe e é igual a 2.