Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de nos pontos dados:
a) no ponto
b) no ponto
c) no ponto
d) no ponto

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de algumas funções em pontos específicos. Isso envolve cálculo diferencial, especialmente derivadas, porque a derivada nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto. Então, pra resolver isso, vamos precisar:
  1. Encontrar a derivada da função para obter a inclinação da reta tangente.
  2. Avaliar a derivada no ponto dado para achar o coeficiente angular da reta.
  3. Usar a equação da reta na forma ponto-inclinação para escrever a equação da reta tangente.

Passo 2

Parte a) no ponto

Primeiro, vamos achar a derivada da função .
A derivada de em relação a é:
Agora, avaliamos a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 2.
Agora, usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Onde e o ponto .
Substituindo:

Passo 3

Parte b) no ponto

Vamos achar a derivada de .
Lembrando que , então:
A derivada é:
Agora, avaliamos a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 1.
Usamos a forma ponto-inclinação com e ponto :

Passo 4

Parte c) no ponto

Primeiro, achamos a derivada de .
Podemos reescrever como:
A derivada é:
Avaliamos a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 2.
Usamos a forma ponto-inclinação com e ponto :

Passo 5

Parte d) no ponto

Vamos achar a derivada de .
A derivada é:
Avaliamos a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 12.
Usamos a forma ponto-inclinação com e ponto :

Resposta

a) A equação da reta tangente é .
b) A equação da reta tangente é .
c) A equação da reta tangente é .
d) A equação da reta tangente é .

Exercícios relacionados

Considere a função
a) Existe ?
b) Existe
c) Existe
d) é contínua em ?
e) Existe ?
f) Existe ?
Determine se a função
é contínua em .
Seja
Ache os valores de e que façam diferenciável.
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de no conjunto . , é a região triangular fechada fechada com vértices e .