Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de
nos pontos dados:
a)
no ponto
b)
no ponto
c)
no ponto
d)
no ponto
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de algumas funções
em pontos específicos. Isso envolve cálculo diferencial, especialmente derivadas, porque a derivada nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto. Então, pra resolver isso, vamos precisar:
- Encontrar a derivada da função
para obter a inclinação da reta tangente. - Avaliar a derivada no ponto dado para achar o coeficiente angular da reta.
- Usar a equação da reta na forma ponto-inclinação para escrever a equação da reta tangente.
Passo 2
Parte a)
no ponto
Primeiro, vamos achar a derivada da função
.
A derivada de
em relação a
é:
Agora, avaliamos a derivada no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é 2.
Agora, usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Onde
e o ponto
.
Substituindo:
Passo 3
Parte b)
no ponto
Vamos achar a derivada de
.
Lembrando que
, então:
A derivada é:
Agora, avaliamos a derivada no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é 1.
Usamos a forma ponto-inclinação com
e ponto
:
Passo 4
Parte c)
no ponto
Primeiro, achamos a derivada de
.
Podemos reescrever
como:
A derivada é:
Avaliamos a derivada no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é 2.
Usamos a forma ponto-inclinação com
e ponto
:
Passo 5
Parte d)
no ponto
Vamos achar a derivada de
.
A derivada é:
Avaliamos a derivada no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é 12.
Usamos a forma ponto-inclinação com
e ponto
:
Resposta
a) A equação da reta tangente é
.
b) A equação da reta tangente é
.
c) A equação da reta tangente é
.
d) A equação da reta tangente é
.