Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) nos pontos dados:
a) y = 4 - x^2 no ponto -1,3
b) y = 2 * raiz(x) no ponto 1,2
c) y = 1/x^2 no ponto (-1, 1)
d) y = x^3 no ponto (-2, -8)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de algumas funções em pontos específicos. Isso envolve cálculo diferencial, especialmente derivadas, porque a derivada nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto. Então, pra resolver isso, vamos precisar:
  1. Encontrar a derivada da função para obter a inclinação da reta tangente.
  2. Avaliar a derivada no ponto dado para achar o coeficiente angular da reta.
  3. Usar a equação da reta na forma ponto-inclinação para escrever a equação da reta tangente.

Passo 2

Parte a) no ponto

Primeiro, vamos achar a derivada da função .
A derivada de em relação a é:
Agora, avaliamos a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 2.
Agora, usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Onde e o ponto .
Substituindo:

Passo 3

Parte b) no ponto

Vamos achar a derivada de .
Lembrando que , então:
A derivada é:
Agora, avaliamos a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 1.
Usamos a forma ponto-inclinação com e ponto :

Passo 4

Parte c) no ponto

Primeiro, achamos a derivada de .
Podemos reescrever como:
A derivada é:
Avaliamos a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 2.
Usamos a forma ponto-inclinação com e ponto :

Passo 5

Parte d) no ponto

Vamos achar a derivada de .
A derivada é:
Avaliamos a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 12.
Usamos a forma ponto-inclinação com e ponto :

Resposta

a) A equação da reta tangente é .
b) A equação da reta tangente é .
c) A equação da reta tangente é .
d) A equação da reta tangente é .

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