Considere a função
f(x)= x^2-1, & se -1 <= x<0 2 x, & se 0
Responda:
(d) f(x) é contínua em x=-1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes chamada . O enunciado pergunta se essa função é contínua em . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de continuidade de funções, que envolvem limites e valores da função no ponto em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Então, vamos verificar essas três condições para .

Passo 3

1. Verificar se f(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 está definida:
Olhando a definição da função, para , . Então, substituindo :
Portanto, está definida e vale 0.

Passo 4

2. Calcular o limite de limx to -1^+ f(x) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 quando se aproxima de -1:
Como estamos avaliando em , que está no intervalo , consideramos apenas o limite pela esquerda e pela direita.
  • Limite pela esquerda ( ):
Para valores de menores que -1, a função não está definida, então esse limite não existe.
  • Limite pela direita ( ):
Aqui, usamos . Calculando o limite:
Como o limite pela esquerda não existe e o pela direita é 0, o limite geral em é igual a 0.

Passo 5

3. Comparar o limite com o valor da função em :
O limite de quando se aproxima de -1 é 0, e . Como ambos são iguais, a terceira condição de continuidade é satisfeita.

Resposta

Sim, é contínua em .

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