Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes chamada . O enunciado pergunta se essa função é contínua em . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de continuidade de funções, que envolvem limites e valores da função no ponto em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite de quando se aproxima de é igual a .
Então, vamos verificar essas três condições para .
Passo 3
1. Verificar se f(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 está definida:
Olhando a definição da função, para , . Então, substituindo :
Portanto, está definida e vale 0.
Passo 4
2. Calcular o limite de limx to -1^+ f(x) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 quando se aproxima de -1:
Como estamos avaliando em , que está no intervalo , consideramos apenas o limite pela esquerda e pela direita.
Limite pela esquerda ():
Para valores de menores que -1, a função não está definida, então esse limite não existe.
Limite pela direita ():
Aqui, usamos . Calculando o limite:
Como o limite pela esquerda não existe e o pela direita é 0, o limite geral em é igual a 0.
Passo 5
3. Comparar o limite com o valor da função em :
O limite de quando se aproxima de -1 é 0, e . Como ambos são iguais, a terceira condição de continuidade é satisfeita.