Explique por que o ponto
é um ponto de mínimo da função
. O que acontece com a derivada neste ponto?
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é a função
. A questão pede para explicar por que o ponto
é um ponto de mínimo dessa função e o que acontece com a derivada nesse ponto. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e comportamento de funções, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
é um ponto de mínimo. Um ponto de mínimo é onde a função atinge seu menor valor local. No caso da função valor absoluto
, sabemos que ela sempre dá valores positivos ou zero, então o menor valor possível é zero.
Passo 3
Vamos calcular o valor da função em
:
Agora, vamos ver se esse é de fato o menor valor comparando com outros valores de
.
Passo 4
Escolha qualquer outro ponto
. Por exemplo,
ou
:
Vemos que para qualquer
diferente de zero,
é maior que zero. Portanto,
é realmente o menor valor da função.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre a derivada da função
. A derivada nos diz a inclinação da função em um ponto. Para
, a derivada de
é 1, porque a função é igual a
nesse intervalo. Para
, a derivada é -1, já que a função é igual a
nesse caso.
Passo 6
O que acontece no ponto
? Nessa posição, a derivada pela direita é 1 e pela esquerda é -1. Como as derivadas laterais são diferentes, a derivada no
não está definida. Isso significa que a função tem um “canto” ou “vértice” nesse ponto, o que caracteriza um ponto de mínimo.
Resposta
O ponto
é um ponto de mínimo da função
porque é o ponto onde a função atinge seu menor valor possível, que é zero. Neste ponto, a derivada não está definida, já que as derivadas laterais são diferentes (1 pela direita e -1 pela esquerda), indicando um ponto de mínimo com um “vértice” na curva da função.