Explique por que o ponto é um ponto de mínimo da função . O que acontece com a derivada neste ponto?

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é a função . A questão pede para explicar por que o ponto é um ponto de mínimo dessa função e o que acontece com a derivada nesse ponto. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e comportamento de funções, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que é um ponto de mínimo. Um ponto de mínimo é onde a função atinge seu menor valor local. No caso da função valor absoluto , sabemos que ela sempre dá valores positivos ou zero, então o menor valor possível é zero.

Passo 3

Vamos calcular o valor da função em :
Agora, vamos ver se esse é de fato o menor valor comparando com outros valores de .

Passo 4

Escolha qualquer outro ponto . Por exemplo, ou :
Vemos que para qualquer diferente de zero, é maior que zero. Portanto, é realmente o menor valor da função.

Passo 5

Agora, vamos falar sobre a derivada da função . A derivada nos diz a inclinação da função em um ponto. Para , a derivada de é 1, porque a função é igual a nesse intervalo. Para , a derivada é -1, já que a função é igual a nesse caso.

Passo 6

O que acontece no ponto ? Nessa posição, a derivada pela direita é 1 e pela esquerda é -1. Como as derivadas laterais são diferentes, a derivada no não está definida. Isso significa que a função tem um “canto” ou “vértice” nesse ponto, o que caracteriza um ponto de mínimo.

Resposta

O ponto é um ponto de mínimo da função porque é o ponto onde a função atinge seu menor valor possível, que é zero. Neste ponto, a derivada não está definida, já que as derivadas laterais são diferentes (1 pela direita e -1 pela esquerda), indicando um ponto de mínimo com um “vértice” na curva da função.

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Seja $ \vec{u} = (1,2) $ e $ \vec{v} = (2,1) $. Mostre que $ \vec{w} = (a, b) $ é uma combinação linear de $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $.
Considere a função , não nulo.
(a) Use as propriedades da exponencial para verificar que
Use a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções:
Seja
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
(d) .