(7 , 0) Considere a função de onda abaixo:
Psi(x)=lr A x & 0= a
A é a constante de normalização, real.
(4,0) Normalize Psi(x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para normalizar a função de onda Psi(x), que está definida por partes. Normalizar significa encontrar o valor da constante A tal que a integral do quadrado da função de onda em todo o espaço seja igual a 1. Isso está relacionado ao conceito de probabilidades na mecânica quântica, onde |Psi(x)|^2 representa a densidade de probabilidade de encontrar uma partícula em uma posição x. Para normalizar, precisamos garantir que a soma de todas as probabilidades possíveis seja 1. Vamos precisar usar integração definida e propriedades de funções por partes para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição de normalização matematicamente. Isso significa que:
integral-infty^infty |Psi(x)|^2 , dx = 1
Como Psi(x) é zero fora do intervalo 0 < x < a, podemos simplificar a integral para:
integral0^a |Psi(x)|^2 , dx = 1
Substituindo Psi(x) pela sua expressão por partes, temos:
integral0^a/2 (A x)^2 , dx + integrala/2^a [A(a - x)]^2 , dx = 1

Passo 3

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Primeiro, a integral de 0 a a/2:
integral0^a/2 (A x)^2 , dx = A^2 integral0^a/2 x^2 , dx
Sabemos que integral x^2 , dx = x^33, então:
A^2 [ x^33 ]0^a/2 = A^2 ( (a/2)^33 - 0 ) = A^2 cdot a^324

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral, de a/2 a a:
integrala/2^a [A(a - x)]^2 , dx = A^2 integrala/2^a (a - x)^2 , dx
Fazendo uma substituição u = a - x, du = -dx, os limites mudam para u = 0 quando x = a e u = a/2 quando x = a/2. Assim:
A^2 integral0^a/2 u^2 , du = A^2 [ u^33 ]0^a/2 = A^2 cdot a^324

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais:
A^2 cdot a^324 + A^2 cdot a^324 = A^2 cdot a^312
Isso deve ser igual a 1, conforme a condição de normalização:
A^2 cdot a^312 = 1

Passo 6

Resolvendo para A^2:
A^2 = 12a^3
Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados (e considerando A real):
A = raiz12a^3 = 2raiz3a^3/2

Resposta

A constante de normalização A é:
A = 2raiz3a^3/2

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