Mostre que para uma sequência (xn)n in N,
lim xn=0 se e somente se lim |xn|=0.
Em geral, se lim xn=L então lim |xn|=|L|. Dê exemplo de que não vale a recíproca, a menos que L=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, para uma sequência , o limite de quando tende ao infinito é zero se e somente se o limite do valor absoluto de , ou seja, , também é zero. Além disso, a questão menciona que, em geral, se , então , e quer que a gente dê um exemplo mostrando que a recíproca não é válida a menos que . Vamos usar conceitos de limites de sequências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, conforme fica maior, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de zero.
Agora, consideremos o valor absoluto de , que é . O valor absoluto nunca é negativo, então também vai se aproximar de zero se está se aproximando de zero.

Passo 3

Para mostrar que se e somente se , precisamos provar duas direções:
  1. Se , então .
  2. Se , então .
Vamos lá!

Passo 4

Direção 1: Suponha que . Entonces, para cada , existe um número natural tal que, para todo , . Mas , então . Portanto, .

Passo 5

Direção 2: Agora, suponha que . Sabemos que para todo . Então, também deve ser , porque sendo menor que qualquer implica que está se aproximando de zero.

Passo 6

Portanto, mostramos que se e somente se .

Passo 7

Agora, a questão também diz que, em geral, se , então . Isso faz sentido porque o valor absoluto é uma função contínua, então o limite do valor absoluto é o valor absoluto do limite.

Passo 8

Porém, a recíproca nem sempre é verdadeira. Ou seja, se , não necessariamente , a menos que . Vamos ver um exemplo:
Considere a sequência . Então, para todo . Assim, . No entanto, não existe porque a sequência oscila entre e e não se aproxima de nenhum número específico. Portanto, a recíproca não vale a menos que .

Resposta

Mostramos que se e somente se . Além disso, exemplificamos que a recíproca não é válida a menos que o limite .

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