Mostre que para uma sequência
,
se e somente se
.
Em geral, se
então
. Dê exemplo de que não vale a recíproca, a menos que
.
Em geral, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, para uma sequência
, o limite de
quando
tende ao infinito é zero se e somente se o limite do valor absoluto de
, ou seja,
, também é zero. Além disso, a questão menciona que, em geral, se
, então
, e quer que a gente dê um exemplo mostrando que a recíproca não é válida a menos que
. Vamos usar conceitos de limites de sequências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, conforme
fica maior, os termos da sequência
ficam cada vez mais próximos de zero.
Agora, consideremos o valor absoluto de
, que é
. O valor absoluto nunca é negativo, então
também vai se aproximar de zero se
está se aproximando de zero.
Passo 3
Para mostrar que
se e somente se
, precisamos provar duas direções:
- Se
, então . - Se
, então .
Vamos lá!
Passo 4
Direção 1: Suponha que
. Entonces, para cada
, existe um número natural
tal que, para todo
,
. Mas
, então
. Portanto,
.
Passo 5
Direção 2: Agora, suponha que
. Sabemos que
para todo
. Então,
também deve ser
, porque
sendo menor que qualquer
implica que
está se aproximando de zero.
Passo 6
Portanto, mostramos que
se e somente se
.
Passo 7
Agora, a questão também diz que, em geral, se
, então
. Isso faz sentido porque o valor absoluto é uma função contínua, então o limite do valor absoluto é o valor absoluto do limite.
Passo 8
Porém, a recíproca nem sempre é verdadeira. Ou seja, se
, não necessariamente
, a menos que
. Vamos ver um exemplo:
Considere a sequência
. Então,
para todo
. Assim,
. No entanto,
não existe porque a sequência oscila entre
e
e não se aproxima de nenhum número específico. Portanto, a recíproca não vale a menos que
.
Resposta
Mostramos que
se e somente se
. Além disso, exemplificamos que a recíproca não é válida a menos que o limite
.
Exercícios relacionados
Determine se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(b)
(b)
Verifique as seguintes três aplicações da Proposição 1.9.
Se uma sequênciá têm duas subsequências convergentes, mas com limites diferentes, então a sequência não converge.
Se uma sequênciá têm duas subsequências convergentes, mas com limites diferentes, então a sequência não converge.
Considere que a função de onda para uma partícula quântica confinada no intervalo
seja dada por:
Qual é a probabilidade de encontrar a partícula nos seguintes intervalos:
?
Encontre os limites: