Determine se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza! A gente tem aqui uma sequência definida por
. O objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico conforme
cresce) ou se ela diverge (não se aproxima de nenhum número, indo para o infinito). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, que é parte do estudo de Análise Matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência
. Conforme
aumenta, o numerador
cresce muito mais rápido que o denominador
. Isso sugere que, à medida que
fica muito grande, o valor da sequência vai aumentar sem limites.
Passo 3
Para formalizar isso, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Passo 4
Podemos simplificar essa expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador por
, a maior potência presente no denominador:
Passo 5
Agora, observamos que conforme
vai para o infinito,
se aproxima de 0. Então, a expressão fica:
Passo 6
Sabemos que
. Isso significa que a sequência
cresce sem limites à medida que
aumenta.
Resposta
A sequência
diverge para o infinito.
Exercícios relacionados
Verifique as seguintes três aplicações da Proposição 1.9.
Se uma sequênciá têm duas subsequências convergentes, mas com limites diferentes, então a sequência não converge.
Se uma sequênciá têm duas subsequências convergentes, mas com limites diferentes, então a sequência não converge.
Faça o que se pede:
A sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, determine seu limite.
A sequência
Mostre que para uma sequência
,
se e somente se
.
Em geral, se então
. Dê exemplo de que não vale a recíproca, a menos que
.
Em geral, se
Considere que a função de onda para uma partícula quântica confinada no intervalo
seja dada por:
Qual é a probabilidade de encontrar a partícula nos seguintes intervalos:
?