Determine se a sequência ann=1^infty converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(b) an=n^3n+1

Passo 1

Beleza! A gente tem aqui uma sequência definida por . O objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico conforme cresce) ou se ela diverge (não se aproxima de nenhum número, indo para o infinito). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, que é parte do estudo de Análise Matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência . Conforme aumenta, o numerador cresce muito mais rápido que o denominador . Isso sugere que, à medida que fica muito grande, o valor da sequência vai aumentar sem limites.

Passo 3

Para formalizar isso, vamos calcular o limite de limn to infty n^3n + 1 quando tende ao infinito:

Passo 4

Podemos simplificar essa expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador por limn to infty n^3/n(n + 1)/n = limn to infty n^21 + 1n , a maior potência presente no denominador:

Passo 5

Agora, observamos que conforme limn to infty n^21 + 0 = limn to infty n^2 vai para o infinito, se aproxima de 0. Então, a expressão fica:

Passo 6

Sabemos que . Isso significa que a sequência cresce sem limites à medida que aumenta.

Resposta

A sequência diverge para o infinito.

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