Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(b)

Passo 1

Beleza! A gente tem aqui uma sequência definida por . O objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico conforme cresce) ou se ela diverge (não se aproxima de nenhum número, indo para o infinito). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, que é parte do estudo de Análise Matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência . Conforme aumenta, o numerador cresce muito mais rápido que o denominador . Isso sugere que, à medida que fica muito grande, o valor da sequência vai aumentar sem limites.

Passo 3

Para formalizar isso, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:

Passo 4

Podemos simplificar essa expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador por , a maior potência presente no denominador:

Passo 5

Agora, observamos que conforme vai para o infinito, se aproxima de 0. Então, a expressão fica:

Passo 6

Sabemos que . Isso significa que a sequência cresce sem limites à medida que aumenta.

Resposta

A sequência diverge para o infinito.

Exercícios relacionados

Verifique as seguintes três aplicações da Proposição 1.9.
Se uma sequênciá têm duas subsequências convergentes, mas com limites diferentes, então a sequência não converge.
Faça o que se pede:
A sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, determine seu limite.
Mostre que para uma sequência ,
se e somente se .
Em geral, se então . Dê exemplo de que não vale a recíproca, a menos que .
Considere que a função de onda para uma partícula quântica confinada no intervalo seja dada por:
Qual é a probabilidade de encontrar a partícula nos seguintes intervalos: ?