Considere a função de onda radial para o átomo de hidrogênio no estado fundamental:
R10(r)=A e^-r / a0
Determine:
(i) Determine a constante de normalização (A) do estado.
(ii) Por substituição direta na equação de Schrödinger radial, mostre que a função acima é solução da equação e determine o valor da energia correspondente a este estado.
(iii) Determine o raio mais provável para este elétron.
(iv) O valor médio da distância elétron-núcleo em termos de a0.
(v) Calcule a probabilidade de encontrar o elétron entre os raios 0 e 3 a0 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o átomo de hidrogênio no estado fundamental. A questão apresenta a função de onda radial $ R_{10}® = A e^{-r / a_{0}} $ e nos pede para determinar várias coisas sobre ela. Para isso, vamos precisar entender de mecânica quântica, especialmente da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio, normalização de funções de onda, e conceitos como raio mais provável e distância média. Vamos lá!

Passo 2

(i) Determinar a constante de normalização $ A $ do estado.
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Isso significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
A
Substituindo $ R_{10}® = A e^{-r / a_{0}} $:
integral0^infty |R10(r)|^2 , 4pi r^2 , dr = 1
Então:
R10(r) = A e^-r / a0
Para resolver essa integral, usamos a fórmula de integração:
|R10(r)|^2 = A^2 e^-2r / a0
Aqui, $ k = \frac{2}{a_{0}} $ e $ n = 2 $:
4pi A^2 integral0^infty e^-2r / a0 r^2 , dr = 1
Substituindo de volta:
integral0^infty e^-kr r^n , dr = n!k^n+1

Passo 3

(ii) Mostrar que a função é solução da equação de Schrödinger radial e determinar a energia correspondente.
A equação de Schrödinger radial para o átomo de hidrogênio é dada por:
-hbar^22m ( d^2Rdr^2 + 2r dRdr ) - e^24pi epsilon0 r R = E R
Vamos substituir $ R_{10}® = A e^{-r / a_{0}} $ na equação. Primeiro, calculamos as derivadas:
R10(r) = A e^-r / a0
dRdr = -Aa0 e^-r / a0
Substituindo na equação de Schrödinger:
d^2Rdr^2 = Aa0^2 e^-r / a0
Simplificando:
-hbar^22m ( Aa0^2 e^-r / a0 + 2r ( -Aa0 e^-r / a0 ) ) - e^24pi epsilon0 r A e^-r / a0 = E A e^-r / a0
Para que essa igualdade seja válida para todo $ r $, os coeficientes de termos semelhantes devem ser iguais. Isso leva à relação que define a energia $ E $ do estado fundamental:
-hbar^2 A2m a0^2 e^-r / a0 + hbar^2 Am a0 r e^-r / a0 - e^2 A4pi epsilon0 r e^-r / a0 = E A e^-r / a0
Sabemos que a energia do estado fundamental do hidrogênio é:
r
Portanto, a constante $ A $ que encontramos é de fato a solução da equação de Schrödinger radial, e a energia correspondente é $ -13,6 , eV $.

Passo 4

(iii) Determinar o raio mais provável para este elétron.
O raio mais provável é o valor de $ r $ que maximiza a função de probabilidade radial $ P® = |R_{10}®|^2 \cdot 4\pi r^2 $.
Primeiro, expressamos $ P® $:
r
Para encontrar o máximo, derivamos $ P® $ em relação a $ r $ e igualamos a zero:
P(r) = |R10(r)|^2 cdot 4pi r^2
Resolvendo $ 2r - \frac{2r^2}{a_{0}} = 0 $:
P(r)
Como $ r = 0 $ não é um máximo, o raio mais provável é $ r = a_{0} $.

Passo 5

(iv) Determinar o valor médio da distância elétron-núcleo em termos de $ a_{0} $.
A distância média $ \langle r \rangle $ é dada por:
a0
Usando a fórmula de integração:
lang<= r rang<=
Aqui, $ n = 3 $ e $ k = \frac{2}{a_{0}} $:
lang<= r rang<= = integral0^infty r cdot P(r) , dr = integral0^infty r cdot 4pi A^2 e^-2r / a0 r^2 , dr = 4pi A^2 integral0^infty r^3 e^-2r / a0 , dr
Substituindo de volta:
integral0^infty r^n e^-kr , dr = n!k^n+1
Portanto, o valor médio da distância é $ \frac{3}{2} a_{0} $.

Passo 6

(v) Calcular a probabilidade de encontrar o elétron entre os raios 0 e $ \frac{3 a_{0}}{2} $.
A probabilidade $ P $ é dada por:
3 a02
Substituindo $ A = \frac{1}{\sqrt{\pi a_{0}^3}} $:
P
Usando a substituição $ x = \frac{2r}{a_{0}} $, $ r = \frac{a_{0} x}{2} $, $ dr = \frac{a_{0}}{2} dx $:
P = integral0^3 a02 P(r) , dr = integral0^3 a02 4pi A^2 e^-2r / a0 r^2 , dr
Resolvendo a integral:
A = 1raizpi a0^3
Avaliando de 0 a 3:
P = 4pi ( 1raizpi a0^3 )^2 integral0^3 a02 e^-2r / a0 r^2 , dr = 4a0^3 integral0^3 a02 e^-2r / a0 r^2 , dr
Portanto:
x = 2ra0
Então, a probabilidade de encontrar o elétron entre 0 e $ \frac{3 a_{0}}{2} $ é aproximadamente 57,7%.

Resposta

(i) A constante de normalização é $ A = \frac{1}{\sqrt{\pi a_{0}^3}} $.
(ii) A função $ R_{10}® $ é solução da equação de Schrödinger radial, com a energia correspondente $ E = -13,6 , eV $.
(iii) O raio mais provável para o elétron é $ r = a_{0} $.
(iv) O valor médio da distância elétron-núcleo é $ \langle r \rangle = \frac{3}{2} a_{0} $.
(v) A probabilidade de encontrar o elétron entre 0 e $ \frac{3 a_{0}}{2} $ é aproximadamente 57,7%.

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