Considere uma funçāo de onda unidimensional que é descrita por psi(x)=A raizalpha-beta x^2 no intervalo -raizalphabeta <= x <=+raizalphabeta e nula para qualquer outro valor de x . Para o caso em que temos os valores alpha=2,9 e beta=8,7 m^-2, qual é a constante de normalizaçāo (A) desta funçāo de onda?
Observação: A constante de normalização A é adimensional.
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de onda unidimensional dada por no intervalo e zero fora desse intervalo. Nosso objetivo é encontrar a constante de normalização . Para isso, vamos usar o conceito de normalização de funções de onda da mecânica quântica, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula no espaço seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar uma função de onda. A condição de normalização exige que a integral do módulo ao quadrado da função de onda em todo o espaço seja igual a 1. Matematicamente, isso é expresso por:
integral-infty^+infty |psi(x)|^2 , dx = 1
Como nossa função de onda é nula fora do intervalo , a integral se reduz a esse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular |psi(x)|^2 = ( A raizalpha - beta x^2 )^2 = A^2 (alpha - beta x^2) :
A^2 integral-raizalphabeta^+raizalphabeta (alpha - beta x^2) , dx = 1
Agora, aplicamos a condição de normalizaç��o:

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral-a^+a (alpha - beta x^2) , dx
onde integral-a^+a alpha , dx - beta integral-a^+a x^2 , dx .
Essa integral pode ser separada em duas partes:
2alpha a - 2beta a^33
Calculando cada parte:
Então, a integral completa fica:

Passo 5

Substituindo 2alpha raizalphabeta - 2beta ( raizalphabeta )^33 na expressão:
2alpha raizalphabeta - 2beta ( alpha^3/2beta^3/2 )3 = 2alpha raizalphabeta - 2alpha^3/23raizbeta
Simplificando:
2 raizalpha^3beta (1 - 13) = 43 raizalpha^3beta
Fatorando :

Passo 6

Agora, temos:
A^2 cdot 43 raizalpha^3beta = 1
Isolando A^2 = 34 raizbetaalpha^3 :
A = raiz 34 raizbetaalpha^3 = raiz 34 ( betaalpha^3 )^1/4
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 7

Vamos agora substituir os valores dados: 8.7(2.9)^3 = 8.724.389 approx 0.3565 e A = raiz 34 times (0.3565)^1/4 .
Primeiro, calculamos A approx 0.8660 times 0.668 approx 0.578 :
Então:
Calculando cada parte:
Multiplicando:
Arredondando, temos .

Resposta

A constante de normalização é aproximadamente .

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