Fônons representam quantos de energia resultantes das vibrações atômicas no interior de um material. Considere 1 mol de uma amostra cúbica de volume V=10^-5 m^3 na temperatura de 3000 K . Determine o número médio de fônons no volume da amostra com frequências entre vi=0 e vf=4,17 times 10^12 Hz (frequência de Debye).
DICA: Como g(omega) d omega=A V omega^2 d omega g(v) d v=A V 8 pi^3 v^2 d v. Logo, como a integral total (entre nui e nuf ) é 3 NA v o g a d r o resulta A=3,00 times 10^-11 s^3 / m^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre fônons, que são como pequenas unidades de energia resultantes das vibrações dos átomos dentro de um material. Você tem 1 mol de uma amostra cúbica com volume à temperatura de 3000 K. A tarefa é descobrir o número médio de fônons dentro desse volume, considerando frequências que vão de até . Para resolver isso, vamos precisar usar a densidade de estados dos fônons e a distribuição de Bose-Einstein, que nos ajuda a entender como esses fônons estão distribuídos em diferentes frequências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade de estados g(v) , dv = A V cdot 8pi^3 v^2 , dv , que indica quantos modos de vibração (ou estados) existem por unidade de frequência. Segundo a dica, temos:
Onde e .

Passo 3

Agora, para encontrar o número total de fônons N = integralvi^vf g(v) cdot 1e^h vkB T - 1 , dv no intervalo de frequências dado, usamos a fórmula que envolve a distribuição de Bose-Einstein:
Aqui:
  • é a constante de Planck ( )
  • é a constante de Boltzmann ( )
  • é a temperatura (3000 K)

Passo 4

Substituindo N = A V cdot 8pi^3 integral0^4,17 times 10^12 v^2e^h vkB T - 1 , dv na fórmula:
h vkB T = 6,626 times 10^-34 cdot v1,381 times 10^-23 cdot 3000
Agora, vamos calcular a parte exponencial:
h vkB T approx 6,626 times 10^-34 cdot v4,143 times 10^-20 approx 1,597 times 10^-14 cdot v
Simplificando:

Passo 5

Para integrar integral0^infty v^2e^h vkB T - 1 , dv = pi^2 (kB T)^36 h^3 de 0 a , observamos que a constante multiplicativa é muito pequena, então pode ser aproximada para certos valores de . No entanto, para uma precisão melhor, geralmente usaríamos métodos numéricos ou tabelas de integrais.
Mas vamos simplificar assumindo que a integral é aproximadamente multiplicado por :

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos:
pi^2 (1,381 times 10^-23 cdot 3000)^36 cdot (6,626 times 10^-34)^3
Calculando passo a passo:
kB T = 1,381 times 10^-23 cdot 3000 = 4,143 times 10^-20 , J
(kB T)^3 = (4,143 times 10^-20)^3 = 7,11 times 10^-59 , J^3
h^3 = (6,626 times 10^-34)^3 = 2,91 times 10^-100 , Js^3
Então:
pi^2 cdot 7,11 times 10^-596 cdot 2,91 times 10^-100 = 9,87 times 7,116 cdot 2,91 times 10^41 approx 70,217,46 times 10^41 approx 4,02 times 10^41 , Hz^3

Passo 7

Agora, voltando à fórmula do número de fônons:
N approx A V cdot 8pi^3 cdot 4,02 times 10^41
Calculando:
8pi^3 approx 8 cdot 31,006 = 248,05
N approx 3,00 times 10^-11 cdot 10^-5 cdot 248,05 cdot 4,02 times 10^41
N approx 3,00 times 10^-16 cdot 248,05 cdot 4,02 times 10^41
N approx 3,00 times 10^-16 cdot 9,98 times 10^43 approx 2,99 times 10^28

Resposta

O número médio de fônons na amostra, entre as frequências de e , é aproximadamente .

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