Fônons representam quantos de energia resultantes das vibrações atômicas no interior de um material. Considere 1 mol de uma amostra cúbica de volume
na temperatura de 3000 K . Determine o número médio de fônons no volume da amostra com frequências entre
e
(frequência de Debye).
DICA: Como
. Logo, como a integral total (entre
e
) é
resulta
.
DICA: Como
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre fônons, que são como pequenas unidades de energia resultantes das vibrações dos átomos dentro de um material. Você tem 1 mol de uma amostra cúbica com volume
à temperatura de 3000 K. A tarefa é descobrir o número médio de fônons dentro desse volume, considerando frequências que vão de
até
. Para resolver isso, vamos precisar usar a densidade de estados dos fônons e a distribuição de Bose-Einstein, que nos ajuda a entender como esses fônons estão distribuídos em diferentes frequências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade de estados
, que indica quantos modos de vibração (ou estados) existem por unidade de frequência. Segundo a dica, temos:
Onde
e
.
Passo 3
Agora, para encontrar o número total de fônons
no intervalo de frequências dado, usamos a fórmula que envolve a distribuição de Bose-Einstein:
Aqui:
-
é a constante de Planck ( ) -
é a constante de Boltzmann ( ) -
é a temperatura (3000 K)
Passo 4
Substituindo
na fórmula:
Agora, vamos calcular a parte exponencial:
Simplificando:
Passo 5
Para integrar
de 0 a
, observamos que a constante multiplicativa é muito pequena, então
pode ser aproximada para certos valores de
. No entanto, para uma precisão melhor, geralmente usaríamos métodos numéricos ou tabelas de integrais.
Mas vamos simplificar assumindo que a integral é aproximadamente
multiplicado por
:
Passo 6
Substituindo os valores conhecidos:
Calculando passo a passo:
Então:
Passo 7
Agora, voltando à fórmula do número de fônons:
Calculando:
Resposta
O número médio de fônons na amostra, entre as frequências de
e
, é aproximadamente
.
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;
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