Fônons representam quantos de energia resultantes das vibrações atômicas no interior de um material. Considere 1 mol de uma amostra cúbica de volume na temperatura de 3000 K . Determine o número médio de fônons no volume da amostra com frequências entre e (frequência de Debye).
DICA: Como . Logo, como a integral total (entre e ) é resulta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre fônons, que são como pequenas unidades de energia resultantes das vibrações dos átomos dentro de um material. Você tem 1 mol de uma amostra cúbica com volume à temperatura de 3000 K. A tarefa é descobrir o número médio de fônons dentro desse volume, considerando frequências que vão de até . Para resolver isso, vamos precisar usar a densidade de estados dos fônons e a distribuição de Bose-Einstein, que nos ajuda a entender como esses fônons estão distribuídos em diferentes frequências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade de estados , que indica quantos modos de vibração (ou estados) existem por unidade de frequência. Segundo a dica, temos:
Onde e .

Passo 3

Agora, para encontrar o número total de fônons no intervalo de frequências dado, usamos a fórmula que envolve a distribuição de Bose-Einstein:
Aqui:
  • é a constante de Planck ( )
  • é a constante de Boltzmann ( )
  • é a temperatura (3000 K)

Passo 4

Substituindo na fórmula:
Agora, vamos calcular a parte exponencial:
Simplificando:

Passo 5

Para integrar de 0 a , observamos que a constante multiplicativa é muito pequena, então pode ser aproximada para certos valores de . No entanto, para uma precisão melhor, geralmente usaríamos métodos numéricos ou tabelas de integrais.
Mas vamos simplificar assumindo que a integral é aproximadamente multiplicado por :

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos:
Calculando passo a passo:
Então:

Passo 7

Agora, voltando à fórmula do número de fônons:
Calculando:

Resposta

O número médio de fônons na amostra, entre as frequências de e , é aproximadamente .

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