Considere a função
(b) Note que o número de soluções da equação varia conforme modifica-se o valor de ( pode ser um númeror real qualquer). Analise a equação relacionando o valor de com o número de soluções, isto é, diga quantas soluções a equação admite para cada valor de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar a equação e descobrir quantas soluções ela tem dependendo do valor de . A matéria aqui envolve funções absolutas e como elas se comportam. Vamos precisar entender como somar duas funções absolutas e ver como o valor de influencia o número de soluções dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa função é a soma de duas funções absolutas. A função valor absoluto mede a distância de até o ponto na reta numérica. Então, é a distância de até 2, e é a distância de até -4.
Quando somamos essas duas distâncias, a função nos dá a soma das distâncias de até 2 e de até -4.

Passo 3

Vamos dividir a análise em três partes, dependendo do intervalo onde está localizado:
  1. Quando :
    • Então,
  2. Quando :
    • Então,
  3. Quando :
    • Então,

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de em cada intervalo:
  • Para : é uma linha reta com inclinação negativa, aumentando conforme diminui.
  • Para : é uma linha horizontal constante.
  • Para : é uma linha reta com inclinação positiva, aumentando conforme aumenta.
Isso significa que a função tem um mínimo de 6 no intervalo e cresce para ambos os lados fora desse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos relacionar isso com a equação :
  • Quando : A função nunca atinge valores menores que 6, então não há solução.
  • Quando : A equação é satisfeita para todo no intervalo , ou seja, há infinitas soluções.
  • Quando : A função para e para vão cruzar a linha em exatamente dois pontos, um à esquerda de -4 e outro à direita de 2. Portanto, há duas soluções.

Resposta

A equação tem:
  • Nenhuma solução quando .
  • Infinitas soluções quando .
  • Duas soluções quando .

Exercícios relacionados

Uma função real é dita crescente se implica que . Analogamente, uma função é dita se decrescente se se implica que .
(b) Determine os maiores conjuntos possíveis para os quais tem-se a função invertível
Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
©
Encontre todos os pontos críticos da função e classifique-os como pontos de máximo ou mínimo local, ou pontos de sela. O número total de pontos críticos é:
Infinitos.
Encontre todos os pontos críticos da função e classifique-os como pontos de máximo ou mínimo local, ou pontos de sela. O número total de pontos críticos é:
1