Considere a função
(b) Note que o número de soluções da equação
varia conforme modifica-se o valor de
(
pode ser um númeror real qualquer). Analise a equação relacionando o valor de
com o número de soluções, isto é, diga quantas soluções a equação admite para cada valor de
.
(b) Note que o número de soluções da equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar a equação
e descobrir quantas soluções ela tem dependendo do valor de
. A matéria aqui envolve funções absolutas e como elas se comportam. Vamos precisar entender como somar duas funções absolutas e ver como o valor de
influencia o número de soluções dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa função é a soma de duas funções absolutas. A função valor absoluto
mede a distância de
até o ponto
na reta numérica. Então,
é a distância de
até 2, e
é a distância de
até -4.
Quando somamos essas duas distâncias, a função
nos dá a soma das distâncias de
até 2 e de
até -4.
Passo 3
Vamos dividir a análise em três partes, dependendo do intervalo onde
está localizado:
-
Quando
: -
-
- Então,
-
-
Quando
: -
-
- Então,
-
-
Quando
: -
-
- Então,
-
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de
em cada intervalo:
- Para
: é uma linha reta com inclinação negativa, aumentando conforme diminui. - Para
: é uma linha horizontal constante. - Para
: é uma linha reta com inclinação positiva, aumentando conforme aumenta.
Isso significa que a função
tem um mínimo de 6 no intervalo
e cresce para ambos os lados fora desse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos relacionar isso com a equação
:
- Quando
: A função nunca atinge valores menores que 6, então não há solução. - Quando
: A equação é satisfeita para todo no intervalo , ou seja, há infinitas soluções. - Quando
: A função para e para vão cruzar a linha em exatamente dois pontos, um à esquerda de -4 e outro à direita de 2. Portanto, há duas soluções.
Resposta
A equação
tem:
- Nenhuma solução quando
. - Infinitas soluções quando
. - Duas soluções quando
.
Exercícios relacionados
Uma função real
é dita crescente se
implica que
. Analogamente, uma função é dita se decrescente se se
implica que
.
(b) Determine os maiores conjuntos possíveis para os quais tem-se a função
invertível
(b) Determine os maiores conjuntos possíveis
Quais das funções abaixo são injetoras? Quais são sobrejetoras? Justifique sua resposta, respostas sem justificativas não serão aceitas.
©
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Encontre todos os pontos críticos da função
e classifique-os como pontos de máximo ou mínimo local, ou pontos de sela. O número total de pontos críticos é:
Infinitos.
Infinitos.
Encontre todos os pontos críticos da função
e classifique-os como pontos de máximo ou mínimo local, ou pontos de sela. O número total de pontos críticos é:
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