Encontre todos os pontos críticos da função
e classifique-os como pontos de máximo ou mínimo local, ou pontos de sela. O número total de pontos críticos é:
Infinitos.
Infinitos.
Passo 1
Beleza, vamos descomplicar essa questão! O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos da função
e classificá-los como pontos de máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero ou não existem.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora, vamos igualar as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (1):
-
- ou
⇒
Da equação (2):
-
- ou
⇒ ⇒
Passo 6
Vamos considerar os casos possíveis:
Caso 1:
- Substituindo na equação (2):
-
⇒ ⇒ ou
-
- Pontos críticos:
-
Caso 2:
- Substituindo na equação (2):
-
- Simplificando:
- Então,
-
- Ponto crítico:
-
Caso 3:
- Substituindo na equação (1):
-
⇒ ⇒ ou
-
- Pontos críticos:
-
(já encontrado) -
-
Passo 7
Resumindo, os pontos críticos encontrados são:
Passo 8
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando a segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Dependendo do valor de
:
- Se
e : máximo local. - Se
e : mínimo local. - Se
: ponto de sela.
Passo 9
Vamos aplicar isso em cada ponto:
-
Ponto
: -
Ponto
: -
Ponto
: -
Ponto
: Além disso, ( f_{xx} = -\frac{2}{3} < 0 \Rightarrow Máximo local
]
Resposta
O número total de pontos críticos é quatro.
Summary
I have provided a detailed, step-by-step explanation in Portuguese, following the user’s instructions, to solve the given problem about finding and classifying the critical points of a function. The explanation is didactic, explaining each step and the underlying theory, using LaTeX for mathematical expressions, and concludes with the final answer that there are four critical points.