Encontre todos os pontos críticos da função e classifique-os como pontos de máximo ou mínimo local, ou pontos de sela. O número total de pontos críticos é:
1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos da função e classificá-los como pontos de máximo, mínimo local ou ponto de sela. Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise de pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são pontos críticos. São pontos onde as derivadas parciais da função em relação a todas as variáveis são iguais a zero. Ou seja, precisamos encontrar e e resolver o sistema e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, temos o sistema de equações para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema.

Passo 6

Da primeira equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. ou seja,

Passo 7

Vamos analisar cada caso.
Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Isso dá ou .
Portanto, temos dois pontos críticos neste caso: e .
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Isso dá ou .
  • Se , então , resultando no ponto .
  • Se , então , resultando no ponto .

Passo 8

Agora, temos os seguintes pontos críticos:
Vamos classificar cada um deles.

Passo 9

Para classificar os pontos críticos, usamos a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais da função.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é:
O determinante da Hessiana é:
Agora, vamos calcular em cada ponto crítico.

Passo 10

Ponto (0, 0):
Como , é um ponto de sela.
Ponto (1, 0):
Como , é um ponto de sela.
Ponto (0, 1):
Como , é um ponto de sela.
Ponto :
Como e , é um ponto de máximo local.

Resposta

O número total de pontos críticos é 4.

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Infinitos.
Considere a função
(b) Note que o número de soluções da equação varia conforme modifica-se o valor de ( pode ser um númeror real qualquer). Analise a equação relacionando o valor de com o número de soluções, isto é, diga quantas soluções a equação admite para cada valor de .
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5
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0