Encontre todos os pontos críticos da função e classifique-os como pontos de máximo ou mínimo local, ou pontos de sela. O número total de pontos críticos é:
1
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos da função e classificá-los como pontos de máximo, mínimo local ou ponto de sela. Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e análise de pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são pontos críticos. São pontos onde as derivadas parciais da função em relação a todas as variáveis são iguais a zero. Ou seja, precisamos encontrar e e resolver o sistema e .
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Passo 5
Agora, temos o sistema de equações para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 6
Da primeira equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
ou seja,
Passo 7
Vamos analisar cada caso.
Caso 1:
Substituindo na segunda equação:
Isso dá ou .
Portanto, temos dois pontos críticos neste caso: e .
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Isso dá ou .
Se , então , resultando no ponto .
Se , então , resultando no ponto .
Passo 8
Agora, temos os seguintes pontos críticos:
Vamos classificar cada um deles.
Passo 9
Para classificar os pontos críticos, usamos a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais da função.