Considere a função dada por:
Verifique que temos uma parametrização da região aberta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que a função está parametrizando a região aberta . Isso significa que, ao usar a função , a gente consegue cobrir todo o conjunto de pontos que satisfazem . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções hiperbólicas e como elas se relacionam com a parametrização de regiões no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as componentes e da função :
Aqui, é um número real positivo e é qualquer número real. As funções e são as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma identidade importante das funções hiperbólicas:
Essa identidade nos ajuda a relacionar e sem depender de .

Passo 4

Substituindo e na identidade, temos:
Multiplicando tudo por :
Como , podemos reescrever a equação como:

Passo 5

Vamos analisar a condição . A partir de , percebemos que:
Isso significa que está fora dos limites definidos por , ou seja, não está contido na região onde . Portanto, nossa parametrização não está cobrindo a região conforme definida.

Resposta

Na verdade, a parametrização dada pela função não cobre a região , pois a condição resultante não satisfaz .

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Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(a) esfera;
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
© elipsoide: ;
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(b) gráfico da função sobre o triângulo de vértices e ;
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(d) cilindro circular com ;