Considere a função
dada por:
Verifique que temos uma parametrização da região aberta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que a função
está parametrizando a região aberta
. Isso significa que, ao usar a função
, a gente consegue cobrir todo o conjunto de pontos
que satisfazem
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções hiperbólicas e como elas se relacionam com a parametrização de regiões no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as componentes
e
da função
:
Aqui,
é um número real positivo e
é qualquer número real. As funções
e
são as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma identidade importante das funções hiperbólicas:
Essa identidade nos ajuda a relacionar
e
sem depender de
.
Passo 4
Substituindo
e
na identidade, temos:
Multiplicando tudo por
:
Como
, podemos reescrever a equação como:
Passo 5
Vamos analisar a condição
. A partir de
, percebemos que:
Isso significa que
está fora dos limites definidos por
, ou seja, não está contido na região onde
. Portanto, nossa parametrização
não está cobrindo a região
conforme definida.
Resposta
Na verdade, a parametrização dada pela função
não cobre a região
, pois a condição resultante
não satisfaz
.
Exercícios relacionados
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(a) esfera;
(a) esfera;
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
© elipsoide: ;
© elipsoide:
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(b) gráfico da função sobre o triângulo de vértices
e
;
(b) gráfico da função
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(d) cilindro circular com
;
(d) cilindro circular