Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(a) esfera;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descrever as parametrizações e calcular o vetor normal de uma esfera. Isso faz parte do estudo de superfícies no cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma parametrização, como parametrizar uma esfera e como encontrar o vetor normal a essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre parametrização. Parametrizar uma superfície significa expressar as coordenadas dos pontos dessa superfície em termos de um ou mais parâmetros. Para uma esfera, que é uma superfície 3D perfeita, usamos dois parâmetros, geralmente chamados de θ (theta) e φ (fi), que representam ângulos.
Passo 3
A parametrização mais comum para uma esfera de raio R centrada na origem é dada por:
Aqui, θ varia de 0 a π e φ varia de 0 a 2π. Esses ângulos definem cada ponto na superfície da esfera.
Passo 4
Agora, para encontrar o vetor normal à superfície da esfera, precisamos considerar as derivadas parciais da parametrização em relação aos parâmetros θ e φ. Vamos chamar a parametrização de :
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
O vetor normal à superfície pode ser encontrado fazendo o produto vetorial das derivadas parciais e :
Calculando o produto vetorial:
Passo 6
Simplificando, podemos fatorar R² e :
Perceba que o vetor dentro dos parênteses é na verdade o vetor posição dividido por R:
Isso mostra que o vetor normal é proporcional à posição do ponto na esfera, o que faz sentido geometricamente.