Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(b) gráfico da função
sobre o triângulo de vértices
e
;
(b) gráfico da função
Passo 1
Então, a gente tem que descrever as parametrizações e calcular o vetor normal da superfície que é o gráfico da função
sobre um triângulo com vértices em
,
e
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre superfícies e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície. Como é o gráfico de uma função
, a parametrização é direta. A gente pode definir a superfície
como:
Aqui,
e
variam dentro do triângulo dado.
Passo 3
Agora, vamos entender os limites para
e
. O triângulo tem vértices em
,
e
. Isso significa que
varia de 0 a 1, e para cada
,
varia de 0 até uma linha que conecta
a
.
A equação dessa linha é
, então os limites para
são de 0 a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o vetor normal à superfície. Para uma superfície dada por
, o vetor normal pode ser encontrado usando o gradiente da função. O gradiente
é dado por:
Então, o vetor normal
é:
Resposta
O vetor normal à superfície
é dado por
.
Exercícios relacionados
Considere a função
dada por:
Verifique que temos uma parametrização da região aberta
.
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(a) esfera;
(a) esfera;
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(d) cilindro circular com
;
(d) cilindro circular
Considere as seguintes superfícies em coordenadas esféricas e determine a sua correspondente equação em coordenadas cartesianas. Faça um gráfico aproximado.
(b) constante.
(b)