Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(b) gráfico da função sobre o triângulo de vértices e ;

Passo 1

Então, a gente tem que descrever as parametrizações e calcular o vetor normal da superfície que é o gráfico da função sobre um triângulo com vértices em , e . Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre superfícies e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície. Como é o gráfico de uma função , a parametrização é direta. A gente pode definir a superfície como:
Aqui, e variam dentro do triângulo dado.

Passo 3

Agora, vamos entender os limites para e . O triângulo tem vértices em , e . Isso significa que varia de 0 a 1, e para cada , varia de 0 até uma linha que conecta a .
A equação dessa linha é , então os limites para são de 0 a .

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor normal à superfície. Para uma superfície dada por , o vetor normal pode ser encontrado usando o gradiente da função. O gradiente é dado por:
Então, o vetor normal é:

Resposta

O vetor normal à superfície é dado por .

Exercícios relacionados

Considere a função dada por:
Verifique que temos uma parametrização da região aberta .
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(a) esfera;
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(d) cilindro circular com ;
Considere as seguintes superfícies em coordenadas esféricas e determine a sua correspondente equação em coordenadas cartesianas. Faça um gráfico aproximado.
(b) constante.