Considere a função
e o ponto
. Obtenha um valor aproximado para
utilizando a aproximação linear local de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e o ponto
. O que a gente precisa fazer é encontrar uma aproximação para
usando a aproximação linear local de
em
. Isso envolve usar o conceito de máximos e mínimos locais e aproximação linear, que basicamente nos ajuda a estimar valores próximos a um ponto conhecido usando uma reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a aproximação linear. É como uma versão simplificada da função que é uma reta (ou um plano, no caso de funções de várias variáveis) que toca a função original no ponto
e tem a mesma inclinação ali. Para encontrar essa aproximação, precisamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
,
e
no ponto
.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a aproximação linear
de
em
:
Onde
.
Primeiro, calculamos
:
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula da aproximação linear:
Vamos simplificar isso:
Passo 7
Agora, usamos a aproximação linear para estimar
:
Vamos calcular passo a passo:
Agora somamos tudo:
Resposta
O valor aproximado para
utilizando a aproximação linear local de
em
é 3.07.
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