Considere a função e o ponto . Obtenha um valor aproximado para utilizando a aproximação linear local de em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e o ponto . O que a gente precisa fazer é encontrar uma aproximação para usando a aproximação linear local de em . Isso envolve usar o conceito de máximos e mínimos locais e aproximação linear, que basicamente nos ajuda a estimar valores próximos a um ponto conhecido usando uma reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a aproximação linear. É como uma versão simplificada da função que é uma reta (ou um plano, no caso de funções de várias variáveis) que toca a função original no ponto e tem a mesma inclinação ali. Para encontrar essa aproximação, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a , e no ponto .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas parciais de :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a aproximação linear de em :
Onde .
Primeiro, calculamos :

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula da aproximação linear:
Vamos simplificar isso:

Passo 7

Agora, usamos a aproximação linear para estimar :
Vamos calcular passo a passo:
Agora somamos tudo:

Resposta

O valor aproximado para utilizando a aproximação linear local de em é 3.07.

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