Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
100) integral x d x1+x^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse tipo de problema está dentro do estudo de Cálculo Integral, especificamente usando o método de substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma parte da expressão para substituir por uma variável mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador u = x^2 , percebemos que é uma boa candidata para substituição. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx , ou seja, du2 = x , dx . Derivando ambos os lados:
Isso significa que:
Ou seja:

Passo 4

Vamos substituir integral x , dx1 + x^4 = integral du21 + u^2 = 12 integral du1 + u^2 e na integral original usando nossas novas variáveis:

Passo 5

A integral integral du1 + u^2 = tan^-1(u) + C é uma forma padrão cujo resultado é a função arco-tangente. Ou seja:
12 integral du1 + u^2 = 12 tan^-1(u) + C
Então:

Passo 6

Agora, vamos substituir 12 tan^-1(u) + C = 12 tan^-1(x^2) + C de volta em termos de :

Resposta

A integral indefinida é:
12 tan^-1(x^2) + C

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